Muestreo estratificado y distribución de medias muestrales

**a) (1.25 puntos) Una población de 6000 personas se ha dividido en 3 estratos, uno con 1000 personas, otro con 3500 y otro con 1500. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 15 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.** En un muestreo estratificado con **afijación proporcional**, el número de individuos de cada estrato en la muestra ($n_i$) debe ser proporcional al número de individuos de ese estrato en la población ($N_i$). La relación que se cumple es: $$\frac{n}{N} = \frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2} = \frac{n_3}{N_3}$$ Donde: - $N = 6000$ (población total) - $N_1 = 1000$, $N_2 = 3500$, $N_3 = 1500$ (tamaños de los estratos) - $n$ es el tamaño de la muestra total que queremos hallar. - $n_3 = 15$ es el tamaño de la muestra del tercer estrato (dato del enunciado). 💡 **Tip:** La constante de proporcionalidad $k = n/N$ representa la fracción de la población que seleccionamos para la muestra.

Utilizamos los datos conocidos del tercer estrato para hallar la constante de proporcionalidad: $$\frac{n_3}{N_3} = \frac{15}{1500} = 0.01$$ Ahora, podemos calcular el tamaño de la muestra total ($n$) aplicando esa misma proporción al total de la población ($N$): $$n = N \cdot 0.01 = 6000 \cdot 0.01 = 60$$ ✅ **Resultado (tamaño de la muestra total):** $$\boxed{n = 60}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que la suma de los tamaños de muestra de cada estrato coincida con el total calculado.

Calculamos cuántas personas corresponden a los estratos restantes ($n_1$ y $n_2$) usando la constante $0.01$: - Para el primer estrato: $$n_1 = N_1 \cdot 0.01 = 1000 \cdot 0.01 = 10$$ - Para el segundo estrato: $$n_2 = N_2 \cdot 0.01 = 3500 \cdot 0.01 = 35$$ Comprobamos la suma: $$n_1 + n_2 + n_3 = 10 + 35 + 15 = 60$$ ✅ **Resultado (composición de la muestra):** $$\boxed{\text{Estrato 1: 10 personas; Estrato 2: 35 personas; Estrato 3: 15 personas}}$$

**b) (1.25 puntos) Dada la población $\{1, 4, 7\}$, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que puedan formarse mediante muestreo aleatorio simple, y halle la varianza de las medias muestrales de todas esas muestras.** En el muestreo aleatorio simple de una población pequeña para formar muestras, se entiende que el muestreo es **con reposición** (cada elemento puede repetirse). Como el orden importa y hay reposición, el número total de muestras es $N^n = 3^2 = 9$. Las muestras posibles $(x_1, x_2)$ son: $$\begin{aligned} &(1, 1), (1, 4), (1, 7) \\ &(4, 1), (4, 4), (4, 7) \\ &(7, 1), (7, 4), (7, 7) \end{aligned}$$ 💡 **Tip:** En Bachillerato, si no se especifica lo contrario, las muestras de tamaño $n$ de una población finita se consideran con reemplazamiento para estudiar la distribución de la media.

Para cada muestra, calculamos su media $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$: $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Muestra} & \text{Media } (\bar{x}) \\ \hline (1, 1) & 1 \\ \hline (1, 4) & 2.5 \\ \hline (1, 7) & 4 \\ \hline (4, 1) & 2.5 \\ \hline (4, 4) & 4 \\ \hline (4, 7) & 5.5 \\ \hline (7, 1) & 4 \\ \hline (7, 4) & 5.5 \\ \hline (7, 7) & 7 \\ \hline \end{array}$$ ✅ **Resultado (muestras):** $$\boxed{\bar{X} = \{1, 2.5, 4, 2.5, 4, 5.5, 4, 5.5, 7\}}$$

Calculamos la media de todas las medias obtenidas (denotada como $\mu_{\bar{x}}$): $$\mu_{\bar{x}} = \frac{1 + 2.5 + 4 + 2.5 + 4 + 5.5 + 4 + 5.5 + 7}{9} = \frac{36}{9} = 4$$ 💡 **Tip:** La media de las medias muestrales $\mu_{\bar{x}}$ siempre coincide con la media de la población $\mu$. En este caso: $\mu = (1+4+7)/3 = 4$.

La varianza de las medias muestrales ($\sigma^2_{\bar{x}}$) se calcula con la fórmula: $$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum (\bar{x}_i - \mu_{\bar{x}})^2}{n_{muestras}}$$ Calculamos los cuadrados de las desviaciones respecto a la media ($\mu_{\bar{x}} = 4$): - $(1 - 4)^2 = 9$ - $(2.5 - 4)^2 = 2.25$ - $(4 - 4)^2 = 0$ - $(2.5 - 4)^2 = 2.25$ - $(4 - 4)^2 = 0$ - $(5.5 - 4)^2 = 2.25$ - $(4 - 4)^2 = 0$ - $(5.5 - 4)^2 = 2.25$ - $(7 - 4)^2 = 9$ Sumamos estos valores: $$\sum = 9 + 2.25 + 0 + 2.25 + 0 + 2.25 + 0 + 2.25 + 9 = 27$$ Dividimos por el número de muestras (9): $$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{27}{9} = 3$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la propiedad $\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sigma^2}{n}$, donde $\sigma^2$ es la varianza poblacional. Aquí $\sigma^2 = \frac{(1-4)^2+(4-4)^2+(7-4)^2}{3} = 6$. Entonces $6/2 = 3$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\sigma^2_{\bar{x}} = 3}$$