Programación lineal: Región factible y optimización

**a) [1,25 puntos] Representa gráficamente la región $R$ y calcula sus vértices.** Para representar la región factible, primero dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación. Buscamos dos puntos para cada una: 1. **Recta $r_1: x + y = 1$** - Si $x = 0 \implies y = 1 \implies (0, 1)$ - Si $y = 0 \implies x = 1 \implies (1, 0)$ 2. **Recta $r_2: x + y = 5$** - Si $x = 0 \implies y = 5 \implies (0, 5)$ - Si $y = 0 \implies x = 5 \implies (5, 0)$ 3. **Recta $r_3: x + 2y = 8$** - Si $x = 0 \implies y = 4 \implies (0, 4)$ - Si $y = 0 \implies x = 8 \implies (8, 0)$ 4. **Ejes: $x = 0$ (eje $Y$) y $y = 0$ (eje $X$)** 💡 **Tip:** Para representar una recta de forma rápida, siempre es útil buscar los puntos de corte con los ejes (haciendo $x=0$ y luego $y=0$).

Para determinar el semiplano solución de cada inecuación, probamos con un punto que no esté en la recta, por ejemplo el $(0, 0)$: - $x + y \ge 1 \implies 0 + 0 \ge 1$ (Falso). El semiplano es el que **no** contiene al origen. - $x + y \le 5 \implies 0 + 0 \le 5$ (Verdadero). El semiplano es el que contiene al origen. - $x + 2y \le 8 \implies 0 + 0 \le 8$ (Verdadero). El semiplano es el que contiene al origen. - $x \ge 0, y \ge 0$: Indica que la región está en el **primer cuadrante**. La intersección de todos estos semiplanos define un polígono cerrado.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Corte entre $x = 0$ y $x + y = 1$. $$x = 0 \implies 0 + y = 1 \implies y = 1 \implies \mathbf{A(0, 1)}$$ - **Vértice B:** Corte entre $x = 0$ y $x + 2y = 8$. $$x = 0 \implies 0 + 2y = 8 \implies y = 4 \implies \mathbf{B(0, 4)}$$ - **Vértice C:** Corte entre $x + 2y = 8$ y $x + y = 5$. Restando ambas ecuaciones: $(x + 2y) - (x + y) = 8 - 5 \implies y = 3$. Sustituimos en la segunda: $x + 3 = 5 \implies x = 2 \implies \mathbf{C(2, 3)}$ - **Vértice D:** Corte entre $x + y = 5$ y $y = 0$. $$y = 0 \implies x + 0 = 5 \implies x = 5 \implies \mathbf{D(5, 0)}$$ - **Vértice E:** Corte entre $x + y = 1$ y $y = 0$. $$y = 0 \implies x + 0 = 1 \implies x = 1 \implies \mathbf{E(1, 0)}$$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(0, 1), B(0, 4), C(2, 3), D(5, 0), E(1, 0)}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función $F(x, y) = 2x + 3y$ en la región $R$ e indica los puntos donde se alcanzan.** Evaluamos la función $F(x, y) = 2x + 3y$ en cada uno de los vértices calculados: - En $A(0, 1): F(0, 1) = 2(0) + 3(1) = 3$ - En $B(0, 4): F(0, 4) = 2(0) + 3(4) = 12$ - En $C(2, 3): F(2, 3) = 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ - En $D(5, 0): F(5, 0) = 2(5) + 3(0) = 10$ - En $E(1, 0): F(1, 0) = 2(1) + 3(0) = 2$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en un vértice o en el segmento que une dos vértices si hay soluciones infinitas.

Al comparar los valores obtenidos: - El valor máximo es **13** y se alcanza en el punto **$C(2, 3)$**. - El valor mínimo es **2** y se alcanza en el punto **$E(1, 0)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 13 \text{ en } (2, 3); \text{ Mínimo: } 2 \text{ en } (1, 0)}$$