Ecuaciones matriciales y dimensiones de matrices

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $2(A + B) \cdot X = 3A - B$.** Primero, simplificamos los términos de la ecuación. Calculamos el paréntesis $M = 2(A + B)$ y el término independiente $N = 3A - B$. Calculamos $A + B$: $$A + B = \begin{pmatrix} 1/5 & 0 \\ 2/5 & 3/5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3/5 & -1 \\ 4/5 & 4/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 & -1 \\ 6/5 & 7/5 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $M = 2(A + B)$: $$M = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4/5 & -1 \\ 6/5 & 7/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/5 & -2 \\ 12/5 & 14/5 \end{pmatrix}$$ Calculamos $N = 3A - B$: $$3A - B = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1/5 & 0 \\ 2/5 & 3/5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3/5 & -1 \\ 4/5 & 4/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 & 0 \\ 6/5 & 9/5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3/5 & -1 \\ 4/5 & 4/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2/5 & 1 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como: $M \cdot X = N$.

Para despejar $X$ en la ecuación $M \cdot X = N$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $M$: $$X = M^{-1} \cdot N$$ Primero comprobamos si $M$ es invertible calculando su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 8/5 & -2 \\ 12/5 & 14/5 \end{vmatrix} = \left( \frac{8}{5} \cdot \frac{14}{5} \right) - \left( -2 \cdot \frac{12}{5} \right) = \frac{112}{25} + \frac{24}{5} = \frac{112 + 120}{25} = \frac{232}{25}$$ Como $|M| \neq 0$, existe $M^{-1}$. La calculamos mediante la trasponiéndola y hallando su adjunta: $$M^t = \begin{pmatrix} 8/5 & 12/5 \\ -2 & 14/5 \end{pmatrix} \implies Adj(M^t) = \begin{pmatrix} 14/5 & 2 \\ -12/5 & 8/5 \end{pmatrix}$$ $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} Adj(M^t) = \frac{25}{232} \begin{pmatrix} 14/5 & 2 \\ -12/5 & 8/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70/232 & 50/232 \\ -60/232 & 40/232 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora realizamos el producto $X = M^{-1} \cdot N$: $$X = \frac{25}{232} \begin{pmatrix} 14/5 & 2 \\ -12/5 & 8/5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2/5 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{25}{232} \begin{pmatrix} (14/5 \cdot 0) + (2 \cdot 2/5) & (14/5 \cdot 1) + (2 \cdot 1) \\ (-12/5 \cdot 0) + (8/5 \cdot 2/5) & (-12/5 \cdot 1) + (8/5 \cdot 1) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{25}{232} \begin{pmatrix} 4/5 & 24/5 \\ 16/25 & -4/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20/232 & 120/232 \\ 16/232 & -20/232 \end{pmatrix}$$ Simplificamos las fracciones dividiendo entre sus máximos comunes divisores: $$X = \begin{pmatrix} 5/58 & 15/29 \\ 2/29 & -5/58 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5/58 & 15/29 \\ 2/29 & -5/58 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: $C^t \cdot D + A$, $C^t \cdot D \cdot C$, $D \cdot C^t$, $C \cdot D \cdot C^t$.** Primero identificamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ es $2 \times 2$ - $C$ es $2 \times 3 \implies C^t$ es $3 \times 2$ Analizamos cada operación: 1. **$C^t \cdot D + A$**: Para que el producto $C^t_{(3 \times 2)} \cdot D_{(m \times n)}$ exista, debe ser $m = 2$. El resultado será de dimensión $3 \times n$. Para sumar este resultado con $A_{(2 \times 2)}$, las dimensiones deberían coincidir ($3 \times n = 2 \times 2$), lo cual es **imposible** porque el número de filas (3 y 2) es distinto. 2. **$C^t \cdot D \cdot C$**: El producto $C^t_{(3 \times 2)} \cdot D_{(m \times n)} \cdot C_{(2 \times 3)}$ requiere: - Para $C^t \cdot D$: $m = 2$. El resultado es $3 \times n$. - Para $(3 \times n) \cdot C_{(2 \times 3)}$: $n = 2$. Por tanto, **$D$ debe ser de dimensión $2 \times 2$**. 3. **$D \cdot C^t$**: Para que el producto $D_{(m \times n)} \cdot C^t_{(3 \times 2)}$ sea posible, el número de columnas de $D$ debe ser igual al de filas de $C^t$. Por tanto, **$n = 3$**. La dimensión de $D$ debe ser **$m \times 3$** (donde $m$ puede ser cualquier valor). 4. **$C \cdot D \cdot C^t$**: El producto $C_{(2 \times 3)} \cdot D_{(m \times n)} \cdot C^t_{(3 \times 2)}$ requiere: - Para $C \cdot D$: $m = 3$. El resultado es $2 \times n$. - Para $(2 \times n) \cdot C^t_{(3 \times 2)}$: $n = 3$. Por tanto, **$D$ debe ser de dimensión $3 \times 3$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto $A_{p \times q} \cdot B_{r \times s}$ exista, debe cumplirse que $q = r$ (columnas de la primera = filas de la segunda). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &C^t \cdot D + A: \text{No existe tal D} \\ &C^t \cdot D \cdot C: D \in \mathcal{M}_{2 \times 2} \\ &D \cdot C^t: D \in \mathcal{M}_{m \times 3} \\ &C \cdot D \cdot C^t: D \in \mathcal{M}_{3 \times 3} \end{aligned}}$$