Continuidad, extremos relativos y recta tangente en función a trozos

**a) (1.5 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$ para que dicha función sea continua en $x = 2$ y, además, tenga un mínimo en $x = 1$.** Empezamos analizando la condición del mínimo en $x = 1$. Este valor pertenece al intervalo $x \le 2$, por lo que trabajamos con la primera rama de la función: $f_1(x) = x^2 - bx + 1$. Para que haya un extremo relativo (mínimo) en $x = 1$, la derivada de la función en ese punto debe ser igual a cero ($f'(1) = 0$): 1. Derivamos la primera rama: $$f_1'(x) = 2x - b$$ 2. Imponemos la condición $f_1'(1) = 0$: $$2(1) - b = 0 \implies 2 - b = 0 \implies b = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un extremo relativo, su primera derivada debe ser cero. Para confirmar que es un mínimo, la segunda derivada debe ser positiva: $f_1''(x) = 2 > 0$, lo cual se cumple. $$\boxed{b = 2}$$

Para que la función sea continua en el punto de salto $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto. 1. Valor de la función en $x=2$ (usamos la primera rama porque incluye el igual): $$f(2) = 2^2 - b(2) + 1 = 5 - 2b$$ 2. Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} (x^2 - bx + 1) = 5 - 2b$$ 3. Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} (2x + a) = 2(2) + a = 4 + a$$ Igualamos ambos límites para asegurar la continuidad: $$5 - 2b = 4 + a$$ Sustituimos el valor de $b = 2$ hallado anteriormente: $$5 - 2(2) = 4 + a \implies 5 - 4 = 4 + a \implies 1 = 4 + a$$ $$a = 1 - 4 \implies a = -3$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -3, \quad b = 2}$$

**b) (1 punto) Para $a = 2$ y $b = 6$, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = -2$.** Para $x = -2$, estamos en la primera rama de la función ($x \le 2$). Con $b = 6$, la función en ese intervalo es: $$f(x) = x^2 - 6x + 1$$ Necesitamos dos elementos para la recta tangente: 1. **Punto de tangencia ($y_0$):** Calculamos la imagen de $x = -2$. $$f(-2) = (-2)^2 - 6(-2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$$ El punto es $(-2, 17)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Es el valor de la derivada en $x = -2$. $$f'(x) = 2x - 6 \implies f'(-2) = 2(-2) - 6 = -4 - 6 = -10$$ La pendiente es $m = -10$. 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en un punto $x_0$ viene dada por la fórmula $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Aplicamos la fórmula punto-pendiente con los valores obtenidos: $x_0 = -2$, $y_0 = 17$ y $m = -10$. $$y - 17 = -10(x - (-2))$$ $$y - 17 = -10(x + 2)$$ $$y - 17 = -10x - 20$$ $$y = -10x - 20 + 17$$ $$y = -10x - 3$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{y = -10x - 3}$$