Probabilidad de impago de préstamos bancarios

Para resolver este problema, primero definiremos los sucesos y organizaremos la información en un diagrama de árbol. Definimos los siguientes sucesos: - $V$: El préstamo es para **vivienda** ($P(V) = 0,50$). - $I$: El préstamo es para **industria** ($P(I) = 0,30$). - $C$: El préstamo es para **consumo** ($P(C) = 0,20$). - $U$: El préstamo resulta **impagado** (unpaid). - $S$: El préstamo **se paga** (safe). Del enunciado extraemos las probabilidades condicionadas (impago): - $P(U|V) = 0,20 \implies P(S|V) = 0,80$ - $P(U|I) = 0,15 \implies P(S|I) = 0,85$ - $P(U|C) = 0,70 \implies P(S|C) = 0,30$ 💡 **Tip:** En los diagramas de árbol, la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$.

**a) (1 punto) Si se elige al azar un préstamo, calcule la probabilidad de que se pague.** Para calcular la probabilidad de que un préstamo sea pagado ($P(S)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un préstamo se paga si es de vivienda y se paga, o si es de industria y se paga, o si es de consumo y se paga: $$P(S) = P(V) \cdot P(S|V) + P(I) \cdot P(S|I) + P(C) \cdot P(S|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(S) = (0,50 \cdot 0,80) + (0,30 \cdot 0,85) + (0,20 \cdot 0,30)$$ $$P(S) = 0,40 + 0,255 + 0,06$$ $$P(S) = 0,715$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0,715}$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando queremos hallar la probabilidad de un suceso final que depende de varios caminos posibles.

**b) (0.75 puntos) Se elige un préstamo al azar que resulta impagado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un préstamo para consumo?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(C|U)$. Primero, necesitamos la probabilidad de que sea impagado ($P(U)$). Como sabemos que $P(S) = 0,715$, su suceso contrario es: $$P(U) = 1 - P(S) = 1 - 0,715 = 0,285$$ Ahora aplicamos Bayes: $$P(C|U) = \frac{P(C \cap U)}{P(U)} = \frac{P(C) \cdot P(U|C)}{P(U)}$$ $$P(C|U) = \frac{0,20 \cdot 0,70}{0,285} = \frac{0,14}{0,285} \approx 0,4912$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|U) \approx 0,4912}$$ 💡 **Tip:** El teorema de Bayes nos permite "volver atrás" en el árbol: conociendo el resultado final (impago), calcular la probabilidad de que provenga de una rama específica (consumo).

**c) (0.75 puntos) Ante un préstamo impagado el director del banco afirma que es más probable que sea para vivienda que para consumo, ¿lleva razón el director?** Debemos comparar la probabilidad de que sea de vivienda dado que es impagado ($P(V|U)$) con la probabilidad de que sea de consumo dado que es impagado ($P(C|U)$), que ya calculamos anteriormente. Calculamos $P(V|U)$: $$P(V|U) = \frac{P(V) \cdot P(U|V)}{P(U)} = \frac{0,50 \cdot 0,20}{0,285} = \frac{0,10}{0,285} \approx 0,3509$$ Comparamos ambos resultados: - $P(V|U) = \frac{0,10}{0,285} \approx 0,3509$ - $P(C|U) = \frac{0,14}{0,285} \approx 0,4912$ Como $0,3509 \lt 0,4912$, es más probable que el préstamo impagado sea de consumo que de vivienda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, el director no lleva razón.}}$$