Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza para el gasto medio mensual de las familias de ese municipio con un nivel de confianza del 98%.** Primero, identificamos los datos del enunciado para la variable $X$, que representa el gasto mensual: - Distribución: Normal $N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 180$. - Tamaño de la muestra: $n = 30$. - Media muestral: $\bar{x} = 900$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$ (es decir, un $98\%$). Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si el nivel de confianza es $0,98$, entonces $\alpha = 1 - 0,98 = 0,02$. Por tanto, $\alpha/2 = 0,01$. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,01 = 0,99$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor más aproximado para una probabilidad de $0,99$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,33}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto que deja a su derecha un área de $\alpha/2$. Para el $98\%$, el área acumulada a la izquierda es $0,99$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,33 \cdot \frac{180}{\sqrt{30}}$$ $$E \approx 2,33 \cdot \frac{180}{5,4772} \approx 2,33 \cdot 32,8633 \approx 76,57$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $900 - 76,57 = 823,43$ - Límite superior: $900 + 76,57 = 976,57$ El intervalo de confianza al $98\%$ es: $$\boxed{IC = (823,43; \, 976,57)}$$ 💡 **Tip:** El error es la mitad de la amplitud del intervalo. Cuanto mayor sea la confianza exigida, mayor será el error y más ancho el intervalo.

**b) (1.25 puntos) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el gasto medio mensual de las familias con un error no superior a 60 euros, con el mismo nivel de confianza.** Nos piden hallar $n$ sabiendo que: - Error máximo: $E \le 60$. - Nivel de confianza: $98\%$, por lo que usamos el mismo valor crítico $z_{\alpha/2} = 2,33$. - Desviación típica: $\sigma = 180$. Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para que el error sea menor o igual a $60$: $$2,33 \cdot \frac{180}{\sqrt{n}} \le 60$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\frac{2,33 \cdot 180}{60} \le \sqrt{n}$$ $$2,33 \cdot 3 \le \sqrt{n}$$ $$6,99 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para obtener $n$: $$n \ge (6,99)^2$$ $$n \ge 48,8601$$ Como el tamaño muestral $n$ debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error sea realmente inferior al pedido. $$\boxed{n = 49}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (como en $48,01$), siempre se redondea hacia arriba para cumplir la restricción del error máximo.