Ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones

**a) (1.25 puntos) Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$. Determine la matriz X que verifica $B \cdot X = 3A + A^t$.** Para resolver la ecuación $B \cdot X = 3A + A^t$, primero vamos a simplificar el lado derecho de la igualdad. Llamaremos $C$ a la matriz resultante de $3A + A^t$. Calculamos $3A$ multiplicando cada elemento de $A$ por $3$: $$3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 15 & 6 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^t$ intercambiando filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Sumamos ambas matrices elemento a elemento: $$C = 3A + A^t = \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 15 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 8 \\ 16 & 8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para transponer una matriz, la primera fila se convierte en la primera columna y la segunda fila en la segunda columna. $$\boxed{3A + A^t = \begin{pmatrix} 12 & 8 \\ 16 & 8 \end{pmatrix}}$$

Para despejar $X$ en la ecuación $B \cdot X = C$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $B$, siempre que esta exista: $X = B^{-1} \cdot C$. Primero, calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (3 \cdot 1) = 4 - 3 = 1$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz $B$ es invertible. Calculamos su inversa usando la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(B)$: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Como $|B| = 1$, la inversa es directamente: $$B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En matrices $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de los de la diagonal secundaria y dividir por el determinante. $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}}$$

Ahora multiplicamos la matriz inversa $B^{-1}$ por la matriz $C$ calculada en el primer paso: $$X = B^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 & 8 \\ 16 & 8 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación de matrices (fila por columna): - Elemento (1,1): $2 \cdot 12 + (-1) \cdot 16 = 24 - 16 = 8$ - Elemento (1,2): $2 \cdot 8 + (-1) \cdot 8 = 16 - 8 = 8$ - Elemento (2,1): $(-3) \cdot 12 + 2 \cdot 16 = -36 + 32 = -4$ - Elemento (2,2): $(-3) \cdot 8 + 2 \cdot 8 = -24 + 16 = -8$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule la matriz Y que verifica $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot Y = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}$.** Analicemos las dimensiones. La matriz de la izquierda tiene dimensión $3 \times 2$ y el resultado es una matriz columna de $3 \times 1$. Por tanto, la matriz $Y$ debe ser una matriz columna de dimensión $2 \times 1$. Sea $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$. La ecuación se convierte en: $$\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}$$ Multiplicando, obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 2y_1 + 5y_2 = 6 \\ y_1 - 5y_2 = -12 \\ 2y_1 - y_2 = -6 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cuando tenemos más ecuaciones que incógnitas, resolvemos usando dos de ellas y comprobamos si la solución satisface la tercera.

Resolvemos el sistema utilizando las dos primeras ecuaciones, que son ideales para el método de reducción: 1. Sumamos la primera y la segunda ecuación: $$(2y_1 + 5y_2) + (y_1 - 5y_2) = 6 + (-12)$$ $$3y_1 = -6 \implies y_1 = \frac{-6}{3} = -2$$ 2. Sustituimos $y_1 = -2$ en la segunda ecuación para hallar $y_2$: $$-2 - 5y_2 = -12 \implies -5y_2 = -10 \implies y_2 = \frac{-10}{-5} = 2$$ 3. **Comprobación:** Debemos verificar si estos valores cumplen la tercera ecuación: $$2(-2) - (2) = -4 - 2 = -6$$ Como $-6 = -6$, la solución es válida para todo el sistema. ✅ **Resultado (matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}}$$