Estudio completo de una función definida a trozos

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en su dominio.** Primero, analizamos la continuidad en los puntos de salto entre intervalos, $x = -3$ y $x = 2$. Las ramas individuales son funciones polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. **En $x = -3$:** 1. $f(-3) = -(-3) + 3 = 6$ 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to -3^-} (2x^2 - 12) = 2(-3)^2 - 12 = 18 - 12 = 6$ 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to -3^+} (-x + 3) = -(-3) + 3 = 6$ Como $f(-3) = \lim_{x \to -3} f(x)$, la función es **continua en $x = -3$**. **En $x = 2$:** 1. $f(2) = -2 + 3 = 1$ 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} (-x + 3) = -2 + 3 = 1$ 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} (x - 1) = 2 - 1 = 1$ Como $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$, la función es **continua en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen los límites laterales, son iguales entre sí y coinciden con el valor de la función en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 4x & \text{si } x \lt -3 \\ -1 & \text{si } -3 \lt x \lt 2 \\ 1 & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Estudiamos la derivabilidad en los puntos críticos analizando las derivadas laterales: **En $x = -3$:** - Derivada por la izquierda: $f'(-3^-) = 4(-3) = -12$ - Derivada por la derecha: $f'(-3^+) = -1$ Como $-12 \neq -1$, **no es derivable en $x = -3$**. **En $x = 2$:** - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = -1$ - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = 1$ Como $-1 \neq 1$, **no es derivable en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales en dicho punto deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\}}$$

**b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de $f'(x)$ en cada tramo de su dominio: 1. **Si $x \lt -3$:** $f'(x) = 4x$. Como $x$ es negativo, $4x \lt 0$, luego la función es **decreciente**. 2. **Si $-3 \lt x \lt 2$:** $f'(x) = -1 \lt 0$, luego la función es **decreciente**. 3. **Si $x \gt 2$:** $f'(x) = 1 \gt 0$, luego la función es **creciente**. Podemos resumirlo en la siguiente tabla de signos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{cont.} & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ Como la función es continua en $x=-3$ y decrece a ambos lados, podemos unir los intervalos de decrecimiento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decreciente en: } (-\infty, 2) \\ &\text{Creciente en: } (2, +\infty) \end{aligned}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule los extremos relativos.** Observando el estudio de la monotonía realizado en el apartado anterior: - En $x = -3$: La función es continua, pero decrece tanto antes como después del punto. Por tanto, **no hay extremo relativo** en $x = -3$. - En $x = 2$: La función es continua y cambia de decreciente a creciente. Por tanto, existe un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del mínimo: $$y = f(2) = -2 + 3 = 1$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo puede ocurrir en puntos donde $f'(x)=0$ o en puntos donde la función no es derivable, siempre que sea continua y cambie el signo de la derivada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en el punto } (2, 1)}$$