Probabilidad en urnas y Teorema de Bayes

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos que intervienen: - $A$: Seleccionar la urna A (sale múltiplo de 3 en el dado). - $B$: Seleccionar la urna B (no sale múltiplo de 3). - $V$: La bola extraída es verde. - $R$: La bola extraída es roja. Calculamos las probabilidades de elegir cada urna basándonos en el dado (caras $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$): - Múltiplos de 3: $\{3, 6\}$. Por tanto, $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. - Resto de casos: $\{1, 2, 4, 5\}$. Por tanto, $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Probabilidades dentro de las urnas: - Urna A (20 bolas: 10V, 10R): $P(V|A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ y $P(R|A) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. - Urna B (20 bolas: 15V, 5R): $P(V|B) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ y $P(R|B) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. Representamos la situación en un árbol:

**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.** Para hallar la probabilidad total de que la bola sea roja, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el árbol: $$P(R) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \right)$$ $$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades de las ramas finales (hojas del árbol) siempre debe dar 1. Aquí, $1/6 + 1/6 + 1/2 + 1/6 = 1$, lo que indica que los cálculos son correctos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$

**b) (1 punto) Si la bola extraída resulta ser de color verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?** Nos piden la probabilidad de haber elegido la Urna B sabiendo que la bola es verde, es decir, $P(B|V)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|V) = \frac{P(B \cap V)}{P(V)}$$ Primero, calculamos $P(V)$. Como los sucesos roja y verde son complementarios: $$P(V) = 1 - P(R) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (ir por la rama de Urna B y luego Verde): $$P(B \cap V) = P(B) \cdot P(V|B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(B|V) = \frac{1/2}{2/3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (Urna B) dado un "efecto" (bola verde), usando la información del camino específico dividido por el total del efecto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|V) = \frac{3}{4} = 0.75}$$