Intervalo de confianza para la media de una distribución Normal

**a) (1 punto) ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la distribución de los pesos $X$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.3$ - Tamaño de la muestra: $n = 9$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$ Para calcular la amplitud, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 98% de confianza: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - 0.98 = 0.02$. 2. Calculamos $\alpha/2$: $0.02 / 2 = 0.01$. 3. Buscamos en la tabla de la Normal el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.99$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica el área central bajo la campana de Gauss. El valor crítico separa esa área central del área de las dos 'colas' laterales.

La fórmula del error máximo admisible ($E$) es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.33 \cdot \frac{0.3}{\sqrt{9}} = 2.33 \cdot \frac{0.3}{3} = 2.33 \cdot 0.1 = 0.233$$ La **amplitud** ($A$) de un intervalo de confianza es la distancia total entre sus extremos, lo que equivale al doble del error: $$A = 2 \cdot E$$ $$A = 2 \cdot 0.233 = 0.466$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Amplitud} = 0.466\text{ g}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cómo afectaría a dicha amplitud un aumento del tamaño de la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza?** Observamos la fórmula de la amplitud en función de los parámetros: $$A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Si el tamaño de la muestra ($n$) aumenta y mantenemos el nivel de confianza (y por tanto $z_{\alpha/2}$) constante: 1. El denominador $\sqrt{n}$ se hace más grande. 2. Al dividir por un número mayor, el cociente $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye. 3. En consecuencia, el error $E$ y la amplitud $A$ **disminuyen**. 💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, más información tenemos sobre la población y más precisa es nuestra estimación (el intervalo se estrecha). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La amplitud del intervalo disminuiría.}}$$

**c) (1 punto) Obtenga el intervalo de confianza sabiendo que los pesos, en gramos, de los sobres de la muestra son: 7 7.1 7 6.93 7.02 7 7.01 6.5 7.1.** Para obtener el intervalo de confianza, primero calculamos la media de los datos de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$$ $$\bar{x} = \frac{7 + 7.1 + 7 + 6.93 + 7.02 + 7 + 7.01 + 6.5 + 7.1}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{62.66}{9} \approx 6.9622$$ Utilizaremos $\bar{x} = 6.962$ para los cálculos posteriores.

El intervalo de confianza se define como: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Ya conocemos el error $E = 0.233$ calculado en el apartado (a), ya que el nivel de confianza (98%) y el tamaño de la muestra ($n=9$) son los mismos. Calculamos los extremos: - Extremo inferior: $6.9622 - 0.233 = 6.7292$ - Extremo superior: $6.9622 + 0.233 = 7.1952$ 💡 **Tip:** El intervalo siempre se centra en la media muestral. Asegúrate de que la suma de los extremos dividida por dos dé exactamente la media calculada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (6.7292, 7.1952)}$$