Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices.** Para representar el recinto $R$, primero debemos dibujar las rectas que limitan las inecuaciones. Convertimos cada desigualdad en una igualdad: 1. $r_1: 5x - 4y = 20$ 2. $r_2: x + 8y = 48$ 3. $r_3: x = 2$ (Recta vertical) 4. $r_4: y = 0$ (Eje OX) Calculamos un par de puntos para las rectas principales: - Para $r_1$: Si $x=0, y=-5$; si $y=0, x=4$. Puntos: $(0, -5)$ y $(4, 0)$. - Para $r_2$: Si $x=0, y=6$; si $y=0, x=48$. Puntos: $(0, 6)$ y $(48, 0)$. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta cumple la inecuación, prueba con el punto $(0,0)$. Si cumple la desigualdad, el recinto está en el semiplano que contiene al origen.

Calculamos las intersecciones de las rectas para hallar los vértices del recinto: - **Vértice A:** Intersección de $x = 2$ y $y = 0$. Resolviendo: $x=2, y=0 \implies \mathbf{A(2, 0)}$ - **Vértice B:** Intersección de $5x - 4y = 20$ y $y = 0$. $5x - 0 = 20 \implies x = 4 \implies \mathbf{B(4, 0)}$ - **Vértice C:** Intersección de $5x - 4y = 20$ y $x + 8y = 48$. Multiplicamos la primera por 2: $10x - 8y = 40$. Sumamos a la segunda: $(10x - 8y) + (x + 8y) = 40 + 48 \implies 11x = 88 \implies x = 8$. Sustituimos $x$ en $x + 8y = 48$: $8 + 8y = 48 \implies 8y = 40 \implies y = 5$. \\ Luego: $\mathbf{C(8, 5)}$ - **Vértice D:** Intersección de $x + 8y = 48$ y $x = 2$. $2 + 8y = 48 \implies 8y = 46 \implies y = 5.75$. \\ Luego: $\mathbf{D(2, 5.75)}$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(2, 0), B(4, 0), C(8, 5), D(2, 5.75)}$$

**b) (0.5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x, y) = 2x + 12y$ en este recinto e indique dónde se alcanzan.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo de una función lineal en un recinto poligonal convexo se alcanzan en sus vértices. Evaluamos $F(x, y)$ en cada uno de ellos: - $F(A) = F(2, 0) = 2(2) + 12(0) = 4$ - $F(B) = F(4, 0) = 2(4) + 12(0) = 8$ - $F(C) = F(8, 5) = 2(8) + 12(5) = 16 + 60 = 76$ - $F(D) = F(2, 5.75) = 2(2) + 12(5.75) = 4 + 69 = 73$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **76** y se alcanza en el punto **$C(8, 5)$**. - El valor mínimo es **4** y se alcanza en el punto **$A(2, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 76 \text{ en } (8, 5); \quad \text{Mínimo: } 4 \text{ en } (2, 0)}$$

**c) (0.5 puntos) Razone si existen valores $(x, y)$ pertenecientes al recinto para los que $F(x, y) = 100$.** Para responder a esta pregunta, analizamos el rango de valores que toma la función en el recinto $R$. En el apartado anterior, hemos determinado que el valor máximo absoluto de la función $F(x, y)$ en todo el recinto es **76**. Dado que $100 \gt 76$, es imposible que existan puntos $(x, y)$ dentro o en la frontera del recinto $R$ tales que la función alcance el valor 100. 💡 **Tip:** En un recinto cerrado y acotado, la función no puede tomar valores superiores al máximo calculado en los vértices. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen tales valores porque el máximo de la función en el recinto es } 76}$$