Estudio de curvatura, recta tangente y monotonía

**a) (1.25 puntos) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.** Para estudiar la curvatura (concavidad y convexidad) y hallar los puntos de inflexión de la función $f(x) = x^3 - 24x^2 + 4x$, primero debemos calcular sus dos primeras derivadas. Derivamos término a término: $$f'(x) = 3x^2 - 48x + 4$$ Derivamos nuevamente para obtener la segunda derivada: $$f''(x) = 6x - 48$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la curvatura utilizamos la segunda derivada $f''(x)$. Si $f''(x) > 0$, la función es convexa ($\cup$), y si $f''(x) < 0$, es cóncava ($\cap$).

Buscamos los posibles puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies 6x - 48 = 0 \implies 6x = 48 \implies x = 8$$ Ahora estudiamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 8) & 8 & (8, +\infty)\\ \hline f''(x) = 6x - 48 & - & 0 & +\\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava } (\cap) & \text{P. Inflexión} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ Calculamos la ordenada del punto de inflexión sustituyendo $x = 8$ en la función original: $$f(8) = 8^3 - 24(8)^2 + 4(8) = 512 - 1536 + 32 = -992$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** - **Cóncava ($\cap$):** $(-\infty, 8)$ - **Convexa ($\cup$):** $(8, +\infty)$ - **Punto de Inflexión:** $\boxed{(8, -992)}$

**b) (0.75 puntos) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = -2$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos el valor de la función en $x = -2$ ($y_0$): $$f(-2) = (-2)^3 - 24(-2)^2 + 4(-2) = -8 - 96 - 8 = -112$$ 2. Calculamos la pendiente ($m$) usando la primera derivada en $x = -2$: $$f'(-2) = 3(-2)^2 - 48(-2) + 4 = 12 + 96 + 4 = 112$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - (-112) = 112(x - (-2))$$ $$y + 112 = 112(x + 2)$$ $$y + 112 = 112x + 224$$ Despejamos la $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = 112x + 112$$ 💡 **Tip:** La derivada en un punto es, por definición, la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{y = 112x + 112}$$

**c) (0.5 puntos) En el punto de abscisa $x = 1$, ¿la función es creciente o decreciente?** Para saber si la función es creciente o decreciente en un punto, debemos evaluar el signo de la primera derivada en dicho punto. Sustituimos $x = 1$ en $f'(x) = 3x^2 - 48x + 4$: $$f'(1) = 3(1)^2 - 48(1) + 4 = 3 - 48 + 4 = -41$$ Como $f'(1) = -41 < 0$, la pendiente de la recta tangente es negativa. 💡 **Tip:** Si $f'(a) > 0$ la función crece; si $f'(a) < 0$ la función decrece. ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{\text{La función es decreciente en } x = 1 \text{ porque } f'(1) \lt 0}$$