Probabilidad condicionada e idiomas en una empresa

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol: - $I$: El empleado habla inglés. - $\bar{I}$: El empleado no habla inglés. - $A$: El empleado habla alemán. - $\bar{A}$: El empleado no habla alemán. Datos del enunciado: - $P(I) = 0.65 \implies P(\bar{I}) = 1 - 0.65 = 0.35$ - $P(A|I) = 0.40 \implies P(\bar{A}|I) = 0.60$ - $P(A|\bar{I}) = 0.25 \implies P(\bar{A}|\bar{I}) = 0.75$ Representamos el árbol de probabilidad:

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas?** Nos piden la probabilidad de que hable inglés y también alemán, es decir, la intersección de ambos sucesos: $P(I \cap A)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(I \cap A) = P(I) \cdot P(A|I)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(I \cap A) = 0.65 \cdot 0.40 = 0.26$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la intersección se calcula multiplicando las ramas del árbol que llevan a ese suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I \cap A) = 0.26}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alemán?** Un empleado puede hablar alemán de dos formas: hablando inglés o no hablándolo. Por tanto, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(I \cap A) + P(\bar{I} \cap A)$$ $$P(A) = P(I) \cdot P(A|I) + P(\bar{I}) \cdot P(A|\bar{I})$$ Ya tenemos el primer valor del apartado anterior ($0.26$). Calculamos el segundo término: $$P(\bar{I} \cap A) = 0.35 \cdot 0.25 = 0.0875$$ Sumamos ambos resultados: $$P(A) = 0.26 + 0.0875 = 0.3475$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las rutas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, todas las ramas que acaban en 'Alemán'). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.3475}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés?** Este es un problema de **probabilidad a posteriori**, ya que nos dan una información previa (sabemos que habla alemán) y queremos calcular la probabilidad de una causa (que hable inglés). Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada (Bayes): $$P(I|A) = \frac{P(I \cap A)}{P(A)}$$ Utilizamos los valores obtenidos en los apartados anteriores: - $P(I \cap A) = 0.26$ - $P(A) = 0.3475$ Realizamos el cociente: $$P(I|A) = \frac{0.26}{0.3475} \approx 0.7483$$ 💡 **Tip:** La fórmula de Bayes siempre tiene la estructura: $\text{P(Lo que quiero | Lo que sé)} = \frac{\text{Probabilidad de la intersección}}{\text{Probabilidad de la condición}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I|A) \approx 0.7483}$$