Contraste de hipótesis para la proporción

**EJERCICIO 4 (2.5 puntos) Los representantes de un partido político creen que la proporción de sus votantes será al menos del 35%. Para confirmarlo eligen una muestra al azar de 1200 votantes y obtienen que 336 de ellos son partidarios de votarles. Mediante un contraste de hipótesis, con $H_0: p \ge 0.35$, y a un nivel de significación del 0.01, ¿se puede admitir como cierta la creencia de los representantes del partido político?** En primer lugar, extraemos la información del enunciado para definir el contraste: - Tamaño de la muestra: $n = 1200$. - Número de éxitos (partidarios): $x = 336$. - Proporción poblacional bajo la hipótesis nula: $p_0 = 0.35$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.01$. Planteamos las hipótesis del contraste. Como el enunciado dice "al menos del 35%", la hipótesis nula incluye el signo $\ge$: $$H_0: p \ge 0.35 \quad \text{(Creencia del partido)}$$ $$H_1: p \lt 0.35 \quad \text{(Hipótesis alternativa)}$$ Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**, ya que la región de rechazo se encuentra en los valores significativamente más pequeños que el propuesto en la hipótesis nula. 💡 **Tip:** Recuerda que $H_0$ siempre debe contener el signo de igualdad ($=, \ge, \le$). La hipótesis que queremos probar (o refutar) suele marcar la dirección del contraste.

Calculamos la proporción observada en la muestra ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{336}{1200} = 0.28$$ Para muestras grandes ($n$ suficientemente elevado), la distribución de la proporción muestral se aproxima a una Normal. El estadístico de contraste para la proporción sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$ y se calcula mediante la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Donde $q_0 = 1 - p_0 = 1 - 0.35 = 0.65$. Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.28 - 0.35}{\sqrt{\dfrac{0.35 \cdot 0.65}{1200}}} = \frac{-0.07}{\sqrt{\dfrac{0.2275}{1200}}} = \frac{-0.07}{\sqrt{0.00018958}}$$ $$Z \approx \frac{-0.07}{0.01377} \approx -5.083$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sqrt{p_0 q_0 / n}$ representa la desviación típica de la proporción muestral bajo el supuesto de que $H_0$ es cierta. $$\boxed{Z_{exp} = -5.08}$$

Con un nivel de significación de $\alpha = 0.01$ y siendo un contraste unilateral a la izquierda, debemos buscar el valor $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.01$. En las tablas de la Normal $N(0,1)$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando el valor 0.99 en el interior de la tabla, observamos que corresponde a un valor de $z$ entre 2.32 y 2.33. Tomamos el valor más aproximado (o la media): $$z_{\alpha} = 2.33$$ Por tanto, el **valor crítico** es $-2.33$. **Región de Aceptación:** $Z \ge -2.33$ o $(-2.33, +\infty)$ **Región de Rechazo:** $Z \lt -2.33$ o $(-\infty, -2.33)$ 💡 **Tip:** En un contraste unilateral, todo el error $\alpha$ se sitúa en un solo extremo de la campana de Gauss.

Comparamos nuestro estadístico observado ($Z_{exp}$) con el valor crítico: $$Z_{exp} = -5.08 \quad \text{y} \quad Z_{crítico} = -2.33$$ Como $-5.08 \lt -2.33$, el estadístico de contraste cae claramente dentro de la **región de rechazo**. Al nivel de significación del 0.01, existen evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula $H_0$. Por lo tanto, no se puede admitir como cierta la creencia de los representantes del partido político. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{No se puede admitir la creencia del partido ya que se rechaza } H_0}$$