Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^3$.** Para calcular $A^3$, primero debemos hallar $A^2$, multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $A^2 = A \cdot A$. $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 & 3 \cdot 3 + 5 \cdot 5 \end{pmatrix}$$ Operamos los productos y sumas: $$A^2 = \begin{pmatrix} 4 + 9 & 6 + 15 \\ 6 + 15 & 9 + 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera matriz por los elementos de la columna de la segunda matriz y sumamos los resultados.

Ahora que conocemos $A^2$, calculamos $A^3$ multiplicando $A^2$ por $A$: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 13 & 21 \\ 21 & 34 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación: $$A^3 = \begin{pmatrix} 13 \cdot 2 + 21 \cdot 3 & 13 \cdot 3 + 21 \cdot 5 \\ 21 \cdot 2 + 34 \cdot 3 & 21 \cdot 3 + 34 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 + 63 & 39 + 105 \\ 42 + 102 & 63 + 170 \end{pmatrix}$$ $$A^3 = \begin{pmatrix} 89 & 144 \\ 144 & 233 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{A^3 = \begin{pmatrix} 89 & 144 \\ 144 & 233 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Determine la matriz $X$ para que $A \cdot X + B \cdot C = D$.** Primero aislamos el término que contiene a la incógnita $X$. Restamos $B \cdot C$ en ambos lados de la igualdad: $$A \cdot X = D - B \cdot C$$ Para despejar $X$, si la matriz $A$ tiene inversa, multiplicamos por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos lados: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (D - B \cdot C)$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot (D - B \cdot C)$$ $$X = A^{-1} \cdot (D - B \cdot C)$$ 💡 **Tip:** El orden en la multiplicación de matrices es fundamental. Como $A$ está a la izquierda de $X$, debemos multiplicar por su inversa $A^{-1}$ también por la izquierda.

Calculamos primero el producto $B \cdot C$: $$B \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 8 + (-5) \cdot 3 + 3 \cdot 0 \\ 0 \cdot 8 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 - 15 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la diferencia $D - (B \cdot C)$: $$D - B \cdot C = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 9 \\ 3 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $E = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5) - (3 \cdot 3) = 10 - 9 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (o viceversa): $$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$ $$Adj(A^T) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ Entonces, $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A^T) = \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la diagonal secundaria, dividiendo luego por el determinante.

Finalmente, calculamos $X$ realizando el producto $A^{-1} \cdot E$: $$X = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 5 \cdot (-4) + (-3) \cdot (-3) \\ -3 \cdot (-4) + 2 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 + 9 \\ 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -11 \\ 6 \end{pmatrix}}$$