Cálculo de derivadas de funciones

**a) (0.75 puntos) $f(x) = \frac{(x^2 - 5)^3}{3 - x^2}$.** Para derivar esta función, utilizaremos la **regla del cociente**: si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, entonces $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$. Identificamos las partes: - $u(x) = (x^2 - 5)^3$. Para derivar esto usamos la **regla de la cadena**: $u'(x) = 3(x^2 - 5)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2 - 5)^2$. - $v(x) = 3 - x^2 \implies v'(x) = -2x$. Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = \frac{6x(x^2 - 5)^2 \cdot (3 - x^2) - (x^2 - 5)^3 \cdot (-2x)}{(3 - x^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Antes de operar todo el numerador, observa que podemos sacar factor común $2x(x^2 - 5)^2$ para simplificar la expresión. $$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 5)^2 \left[ 3(3 - x^2) + (x^2 - 5) \right]}{(3 - x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 5)^2 [9 - 3x^2 + x^2 - 5]}{(3 - x^2)^2} = \frac{2x(x^2 - 5)^2 (4 - 2x^2)}{(3 - x^2)^2}$$ Podemos sacar un $2$ factor común del último paréntesis: $$\boxed{f'(x) = \frac{4x(x^2 - 5)^2 (2 - x^2)}{(3 - x^2)^2}}$$

**b) (0.75 puntos) $g(x) = e^{7x} \cdot (x - 5x^2)^2$.** Utilizamos la **regla del producto**: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Identificamos las partes: - $u(x) = e^{7x} \implies u'(x) = 7e^{7x}$. - $v(x) = (x - 5x^2)^2 \implies v'(x) = 2(x - 5x^2) \cdot (1 - 10x)$. Aplicamos la regla: $$g'(x) = 7e^{7x} \cdot (x - 5x^2)^2 + e^{7x} \cdot [2(x - 5x^2)(1 - 10x)]$$ 💡 **Tip:** Al igual que en el apartado anterior, conviene sacar factor común $e^{7x}(x - 5x^2)$. $$g'(x) = e^{7x}(x - 5x^2) \left[ 7(x - 5x^2) + 2(1 - 10x) \right]$$ $$g'(x) = e^{7x}(x - 5x^2) [7x - 35x^2 + 2 - 20x]$$ $$g'(x) = e^{7x}(x - 5x^2) (-35x^2 - 13x + 2)$$ $$\boxed{g'(x) = e^{7x}(x - 5x^2)(-35x^2 - 13x + 2)}$$

**c) (1 punto) $h(x) = \frac{x \cdot \ln(1 - x^2)}{x - 3}$.** Esta función es un cociente donde el numerador es, a su vez, un producto. Aplicamos la regla del cociente: - Numerador: $u(x) = x \ln(1 - x^2)$. Su derivada es $u'(x) = 1 \cdot \ln(1 - x^2) + x \cdot \frac{-2x}{1 - x^2} = \ln(1 - x^2) - \frac{2x^2}{1 - x^2}$. - Denominador: $v(x) = x - 3 \implies v'(x) = 1$. Sustituimos en la fórmula del cociente: $$h'(x) = \frac{\left[ \ln(1 - x^2) - \frac{2x^2}{1 - x^2} \right](x - 3) - x \ln(1 - x^2) \cdot 1}{(x - 3)^2}$$ Multiplicamos los términos del corchete por $(x-3)$: $$h'(x) = \frac{(x-3)\ln(1 - x^2) - \frac{2x^2(x-3)}{1 - x^2} - x\ln(1 - x^2)}{(x - 3)^2}$$ Agrupamos los términos con el logaritmo: $(x-3)\ln(1-x^2) - x\ln(1-x^2) = -3\ln(1-x^2)$. $$h'(x) = \frac{-3\ln(1 - x^2) - \frac{2x^2(x-3)}{1 - x^2}}{(x - 3)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{f(x)}$. $$\boxed{h'(x) = \frac{-3\ln(1 - x^2)}{(x - 3)^2} - \frac{2x^2}{(1 - x^2)(x - 3)}} \text{ (expresión simplificada)}$$