Probabilidad: Terapias para dejar de fumar

Para resolver este problema de probabilidad, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en un diagrama de árbol. Definimos los sucesos: - $A$: El usuario elige la terapia A. - $B$: El usuario elige la terapia B. - $S$: El usuario no ha vuelto a fumar (éxito) después de un año. - $\bar{S}$: El usuario ha vuelto a fumar (fracaso). Datos del enunciado: - $P(A) = 45\% = 0.45$ - $P(B) = 1 - P(A) = 0.55$ - $P(S|A) = 70\% = 0.70$ - $P(S|B) = 80\% = 0.80$ 💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la herramienta más útil cuando un experimento ocurre en etapas (primero elegir terapia, luego ver el resultado).

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que después de un año no haya vuelto a fumar.** Para calcular la probabilidad de que una persona no haya vuelto a fumar, $P(S)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso final es la suma de las probabilidades de todas las ramas que conducen a ese suceso: $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el árbol: $$P(S) = 0.45 \cdot 0.70 + 0.55 \cdot 0.80$$ $$P(S) = 0.315 + 0.44 = 0.755$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total siempre debe estar entre 0 y 1. En este caso, el 75.5% de los pacientes tienen éxito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.755}$$

**b) (0.75 puntos) Si transcurrido un año esa persona sigue sin fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.** Nos piden calcular una probabilidad a posteriori: sabiendo que el resultado fue un éxito ($S$), ¿cuál es la probabilidad de que viniera de la terapia $A$? Usamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)}$$ Ya tenemos los valores calculados anteriormente: - Numerador (éxito por vía A): $0.45 \cdot 0.70 = 0.315$ - Denominador (probabilidad total de éxito): $0.755$ $$P(A|S) = \frac{0.315}{0.755} \approx 0.4172$$ 💡 **Tip:** Bayes siempre es (probabilidad de la rama específica) / (probabilidad total del suceso condicionante). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|S) \approx 0.4172}$$

**c) (0.75 puntos) Si transcurrido un año esa persona ha vuelto a fumar, calcule la probabilidad de que hubiera seguido la terapia A.** En este caso, la condición es que la persona **ha vuelto a fumar** (suceso $\bar{S}$). Primero, calculamos la probabilidad total de volver a fumar: $$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.755 = 0.245$$ Ahora aplicamos de nuevo el **Teorema de Bayes** para hallar $P(A|\bar{S})$: $$P(A|\bar{S}) = \frac{P(A \cap \bar{S})}{P(\bar{S})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{S}|A)}{P(\bar{S})}$$ Buscamos los valores en nuestro esquema: - $P(A \cap \bar{S}) = 0.45 \cdot 0.30 = 0.135$ - $P(\bar{S}) = 0.245$ $$P(A|\bar{S}) = \frac{0.135}{0.245} = \frac{135}{245} = \frac{27}{49} \approx 0.5510$$ 💡 **Tip:** Fíjate que aunque menos gente elige la terapia A, su tasa de recaída es mayor, por lo que si alguien recae, hay más probabilidad de que viniera de la terapia A que en el caso del éxito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{S}) \approx 0.5510}$$