Optimización lineal: Maximización de beneficios

**a) (1 punto) Represente la región factible del problema.** Para representar la región factible, primero aislamos la variable $y$ en cada una de las desigualdades para identificar las rectas que delimitan el recinto: 1. $y + 3x \ge 9 \implies y \ge -3x + 9$ 2. $y \le -\frac{4}{7}x + 14$ 3. $5x - 2y \le 15 \implies -2y \le -5x + 15 \implies y \ge \frac{5}{2}x - 7.5$ 4. $x \ge 0$ (Indica que la región está a la derecha del eje $Y$ o sobre él). 💡 **Tip:** Recuerda que al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. En la tercera restricción: $-2y \le -5x + 15$ pasa a ser $y \ge \frac{-5}{-2}x + \frac{15}{-2}$.

Para dibujar la región, calculamos los puntos de corte entre las rectas: - **Vértice A** (Intersección de $x=0$ y $y = -\frac{4}{7}x + 14$): Si $x=0 \implies y = 14$. Punto: $A(0, 14)$. - **Vértice B** (Intersección de $y = -\frac{4}{7}x + 14$ y $y = 2.5x - 7.5$): $2.5x - 7.5 = -\frac{4}{7}x + 14$ Multiplicamos todo por 14 para quitar denominadores: $35x - 105 = -8x + 196 \implies 43x = 301 \implies x = 7$. Sustituyendo $x=7$ en la segunda ecuación: $y = 2.5(7) - 7.5 = 10$. Punto: $B(7, 10)$. - **Vértice C** (Intersección de $y = -3x + 9$ y $y = 2.5x - 7.5$): $-3x + 9 = 2.5x - 7.5 \implies 16.5 = 5.5x \implies x = 3$. Sustituyendo $x=3$: $y = -3(3) + 9 = 0$. Punto: $C(3, 0)$. - **Vértice D** (Intersección de $x=0$ y $y = -3x + 9$): Si $x=0 \implies y = 9$. Punto: $D(0, 9)$. $$\boxed{A(0,14), B(7,10), C(3,0), D(0,9)}$$

Dibujamos las rectas y sombreamos la región común que cumple todas las desigualdades. Los puntos de prueba (como el $(2,8)$) nos ayudan a verificar que estamos en el lado correcto de cada recta.

**b) (1 punto) ¿Cuál es el valor máximo de $F$ y la solución óptima del problema?** La función a maximizar es $F(x, y) = 14x + 8y$. Evaluamos la función en cada uno de los vértices calculados anteriormente: - $F(A) = F(0, 14) = 14(0) + 8(14) = 112$ - $F(B) = F(7, 10) = 14(7) + 8(10) = 98 + 80 = 178$ - $F(C) = F(3, 0) = 14(3) + 8(0) = 42$ - $F(D) = F(0, 9) = 14(0) + 8(9) = 72$ Comparando los resultados, el valor más alto es 178. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el óptimo se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que los une). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Valor máximo: } 178; \text{ Solución óptima: } (x, y) = (7, 10)}$$

**c) (0.5 puntos) Obtenga un punto de la región factible que no sea el óptimo.** Basta con elegir cualquier punto que esté estrictamente dentro de la región sombreada o sobre sus bordes, distinto del punto $(7, 10)$. Probemos con el punto **$(2, 8)$**: 1. $y + 3x \ge 9 \implies 8 + 3(2) = 14 \ge 9$ (Cumple) 2. $y \le -\frac{4}{7}x + 14 \implies 8 \le -\frac{4}{7}(2) + 14 = -\frac{8}{7} + 14 \approx 12.85$ (Cumple) 3. $5x - 2y \le 15 \implies 5(2) - 2(8) = 10 - 16 = -6 \le 15$ (Cumple) 4. $x \ge 0 \implies 2 \ge 0$ (Cumple) Calculamos su valor en la función: $F(2, 8) = 14(2) + 8(8) = 28 + 64 = 92$. Como $92 < 178$, el punto $(2, 8)$ pertenece a la región factible y no es el óptimo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto: } (2, 8)}$$