Estudio completo de una función a trozos: continuidad, extremos y curvatura

**a) (0.75 puntos) Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.** La función $f(x)$ está definida por dos ramas polinómicas: 1. $f_1(x) = x^3 - 1$ es un polinomio, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, especialmente en $(-\infty, 1)$. 2. $f_2(x) = -x^2 + 4x - 3$ es un polinomio, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, especialmente en $[1, +\infty)$. El **dominio de la función** es el conjunto de todos los números reales: $\mathbb{R}$. Estudiamos la continuidad en el punto de salto, $x = 1$: - **Valor de la función:** $f(1) = -(1)^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$. - **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^3 - 1) = 1^3 - 1 = 0.$$ - **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x^2 + 4x - 3) = -1^2 + 4(1) - 3 = 0.$$ Como $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$, la función es **continua en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función y los límites laterales coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R}. \text{ La función es continua en todo } \mathbb{R}.}$$

**b) (1 punto) Obtenga los extremos de la función.** Para hallar los extremos, primero derivamos la función rama a rama: $$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{si } x \lt 1 \\ -2x + 4 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Estudiamos la derivabilidad en $x = 1$ mediante los límites laterales de $f'(x)$: - $f'(1^-) = 3(1)^2 = 3$ - $f'(1^+) = -2(1) + 4 = 2$ Como $3 \neq 2$, la función **no es derivable en $x = 1$** (hay un punto anguloso). 💡 **Tip:** Para que sea derivable, además de ser continua, las derivadas laterales deben ser iguales.

Buscamos los puntos donde la derivada es cero (puntos críticos): - En $x \lt 1$: $3x^2 = 0 \implies x = 0$. - En $x \gt 1$: $-2x + 4 = 0 \implies x = 2$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por $x=0$, $x=1$ (no derivable) y $x=2$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\ f(x) & \nearrow & \text{P.I. horiz.} & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $x=0$, la función crece antes y después, por lo que no es un extremo relativo (es un punto de inflexión de tangente horizontal). - En $x=1$, la función crece antes y después, no es un extremo. - En $x=2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos la ordenada del máximo: $f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (2, 1). \text{ No existen mínimos relativos.}}$$

**c) (0.75 puntos) Estudie su curvatura.** Calculamos la segunda derivada derivando $f'(x)$: $$f''(x) = \begin{cases} 6x & \text{si } x \lt 1 \\ -2 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Buscamos los puntos donde $f''(x) = 0$: - $6x = 0 \implies x = 0$. Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ y $(1, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + & \nexists & - \\ \text{Curvatura} & \cap & \text{P.I.} & \cup & \text{P.I.} & \cap \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava** (hacia abajo). - En $(0, 1)$, $f''(x) \gt 0$, la función es **convexa** (hacia arriba). - En $(1, +\infty)$, $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava** (hacia abajo). Existen puntos de inflexión donde cambia la curvatura: $x=0$ y $x=1$. 💡 **Tip:** $f''(x) > 0$ indica convexidad (forma de valle $\cup$) y $f''(x) < 0$ indica concavidad (forma de montaña $\cap$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Convexa (\cup): } (0, 1) \\ & \text{Cóncava (\cap): } (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \\ & \text{Puntos de Inflexión: } (0, -1) \text{ y } (1, 0) \end{aligned}}$$