Probabilidad de sucesos independientes

**a) (1.25 puntos) Halle la probabilidad de $B$.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - $A$ y $B$ son **sucesos independientes**. Esto implica que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. - $P(A^C) = 0.4$. - $P(A \cup B) = 0.8$. Calculamos la probabilidad del suceso $A$ utilizando la propiedad del suceso contrario: $$P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - 0.4 = 0.6.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario siempre es 1: $P(A) + P(A^C) = 1$. $$\boxed{P(A) = 0.6}$$

Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$ Como los sucesos son independientes, podemos sustituir $P(A \cap B)$ por $P(A) \cdot P(B)$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - [P(A) \cdot P(B)].$$ Sustituimos los valores conocidos ($P(A \cup B) = 0.8$ y $P(A) = 0.6$): $$0.8 = 0.6 + P(B) - 0.6 \cdot P(B).$$ Agrupamos los términos con $P(B)$: $$0.8 - 0.6 = P(B) \cdot (1 - 0.6)$$ $$0.2 = P(B) \cdot 0.4$$ Despejamos $P(B)$: $$P(B) = \frac{0.2}{0.4} = 0.5.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.5}$$

**b) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que no se verifique $B$ si se ha verificado $A$.** El enunciado nos pide calcular la probabilidad de que no ocurra $B$ (suceso $B^C$) dado que ha ocurrido $A$. Esto se denota como $P(B^C | A)$. Por definición de probabilidad condicionada: $$P(B^C | A) = \frac{P(B^C \cap A)}{P(A)}.$$ Sin embargo, sabemos que si $A$ y $B$ son independientes, sus contrarios también lo son respecto al otro suceso. Por tanto, la ocurrencia de $A$ no afecta a la probabilidad de $B$ ni a la de $B^C$: $$P(B^C | A) = P(B^C).$$ Calculamos $P(B^C)$: $$P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - 0.5 = 0.5.$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad simple: $P(B|A) = P(B)$ y $P(B^C|A) = P(B^C)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B^C | A) = 0.5}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Son incompatibles los sucesos $A$ y $B$?** Dos sucesos son **incompatibles** si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, si su intersección es vacía y su probabilidad es cero: $P(A \cap B) = 0$. Calculamos la probabilidad de la intersección usando la propiedad de independencia: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ $$P(A \cap B) = 0.6 \cdot 0.5 = 0.3.$$ Como $P(A \cap B) = 0.3 \neq 0$, los sucesos pueden ocurrir simultáneamente. Por lo tanto, **los sucesos A y B no son incompatibles**. 💡 **Tip:** No confundas sucesos independientes (la ocurrencia de uno no afecta al otro) con sucesos incompatibles (no pueden ocurrir a la vez). Si dos sucesos tienen probabilidad distinta de cero y son independientes, necesariamente son compatibles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son incompatibles, ya que } P(A \cap B) = 0.3 \neq 0}$$