Muestreo y estimación de la proporción

**a) (1.25 puntos) Se considera la población {2, 4, 6}. Escriba todas las posibles muestras de tamaño dos elegidas mediante muestreo aleatorio simple y determine la desviación típica de las medias muestrales.** En el muestreo aleatorio simple (con reposición), el orden de los elementos importa y estos pueden repetirse. Como la población tiene $N=3$ elementos y el tamaño de la muestra es $n=2$, el número total de muestras posibles es $N^n = 3^2 = 9$. Las muestras posibles son: $$(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)$$ 💡 **Tip:** En una población pequeña, si no se especifica "sin reposición", el muestreo aleatorio simple implica que un mismo elemento puede salir varias veces en la misma muestra.

Para cada una de las 9 muestras, calculamos su media aritmética $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$: - Media de $(2, 2) \rightarrow \bar{x}_1 = \frac{2+2}{2} = 2$ - Media de $(2, 4) \rightarrow \bar{x}_2 = \frac{2+4}{2} = 3$ - Media de $(2, 6) \rightarrow \bar{x}_3 = \frac{2+6}{2} = 4$ - Media de $(4, 2) \rightarrow \bar{x}_4 = \frac{4+2}{2} = 3$ - Media de $(4, 4) \rightarrow \bar{x}_5 = \frac{4+4}{2} = 4$ - Media de $(4, 6) \rightarrow \bar{x}_6 = \frac{4+6}{2} = 5$ - Media de $(6, 2) \rightarrow \bar{x}_7 = \frac{6+2}{2} = 4$ - Media de $(6, 4) \rightarrow \bar{x}_8 = \frac{6+4}{2} = 5$ - Media de $(6, 6) \rightarrow \bar{x}_9 = \frac{6+6}{2} = 6$ Los valores de las medias muestrales son: **{2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6}**.

La desviación típica de las medias muestrales, denotada por $\sigma_{\bar{X}}$, se calcula hallando primero la media de estas medias y luego aplicando la fórmula de la desviación típica. 1. **Media de las medias ($\mu_{\bar{x}}$):** $$\mu_{\bar{x}} = \frac{2+3+4+3+4+5+4+5+6}{9} = \frac{36}{9} = 4$$ 2. **Varianza ($\sigma_{\bar{x}}^2$):** $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sum (\bar{x}_i - \mu_{\bar{x}})^2}{n_{total}} = \frac{(2-4)^2 + 2(3-4)^2 + 3(4-4)^2 + 2(5-4)^2 + (6-4)^2}{9}$$ $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{(-2)^2 + 2(-1)^2 + 3(0)^2 + 2(1)^2 + (2)^2}{9} = \frac{4 + 2 + 0 + 2 + 4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ 3. **Desviación típica ($\sigma_{\bar{x}}$):** $$\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$$ 💡 **Tip:** También se puede calcular usando la propiedad $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $\sigma$ es la desviación típica de la población original {2, 4, 6}. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}} \approx 1.1547}$$

**b) (1.25 puntos) En una ciudad se seleccionó una muestra aleatoria de 500 alumnos de Bachillerato a los que se les preguntó si poseían una determinada marca de teléfono móvil, resultando que 80 de ellos contestaron afirmativamente. Obtenga un intervalo de confianza, al 92%, para estimar la proporción de estudiantes de Bachillerato que poseen esa marca de teléfono móvil.** Identificamos los datos del problema: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Número de éxitos: $x = 80$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{80}{500} = 0.16$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.16 = 0.84$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$

Para un nivel de confianza del $92\%$: $1 - \alpha = 0.92 \implies \alpha = 0.08 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.04$. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: - Para $1.75$, la probabilidad es $0.9599$. - Para $1.76$, la probabilidad es $0.9608$. El valor más próximo es **$z_{\alpha/2} = 1.75$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para hallar $z_{\alpha/2}$ siempre debes calcular la probabilidad acumulada $1 - \frac{\alpha}{2}$ y buscarla en el interior de la tabla normal.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.16 \cdot 0.84}{500}} = 1.75 \cdot \sqrt{0.0002688}$$ $$E \approx 1.75 \cdot 0.016395 \approx 0.02869$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.16 - 0.02869 = 0.13131$ - Extremo superior: $0.16 + 0.02869 = 0.18869$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.1313, 0.1887)}$$