Programación Lineal: Planteamiento y Optimización

**a) (1 punto) Plantee, sin resolver, el siguiente problema: “Un barco puede transportar vehículos de dos tipos: coches y motos. Las condiciones de la nave obligan a que el número de motos no pueda ser inferior a la cuarta parte del de coches ni superior a su doble; además, la suma del número de motos más el doble del número de coches no puede ser mayor que 100. ¿Cuántos vehículos, como máximo, puede transportar este barco?”** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de coches. - $y$: número de motos. La pregunta nos pide el máximo de vehículos totales, por lo tanto, la **función objetivo** será la suma de ambos tipos de vehículos: $$f(x, y) = x + y$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica primero qué magnitudes puedes variar (variables) y qué quieres maximizar o minimizar (función objetivo).

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones lineales: 1. El número de motos ($y$) no puede ser inferior a la cuarta parte del de coches ($x$): $$y \ge \frac{x}{4} \implies 4y \ge x \implies x - 4y \le 0$$ 2. El número de motos ($y$) no puede ser superior al doble del de coches ($x$): $$y \le 2x \implies 2x - y \ge 0$$ 3. La suma del número de motos ($y$) más el doble del de coches ($2x$) no puede ser mayor que 100: $$y + 2x \le 100$$ 4. Restricciones de no negatividad (puesto que no puede haber un número negativo de vehículos): $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ Además, dado que tratamos con vehículos, $x$ e $y$ deben ser números enteros ($x, y \in \mathbb{Z}$). ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Maximizar } f(x,y) = x + y \\ \text{Sujeto a:} \\ y \ge \frac{x}{4} \\ y \le 2x \\ 2x + y \le 100 \\ x, y \ge 0, \; x, y \in \mathbb{Z} \end{cases}}$$

**b) (1.5 puntos) Dado el recinto limitado por las inecuaciones $y \ge 30, \quad 3x - y \ge 150, \quad 6x + 7y \le 840$, halle en qué puntos de ese recinto la función $F(x, y) = 6x - 2y$ alcanza su valor mínimo.** Para resolver este apartado, primero identificamos las rectas que delimitan el recinto: - $r_1: y = 30$ (Recta horizontal) - $r_2: 3x - y = 150 \implies y = 3x - 150$ - $r_3: 6x + 7y = 840 \implies y = \frac{840 - 6x}{7}$ Dibujaremos el recinto buscando la región que cumple simultáneamente las tres inecuaciones: - $y \ge 30$: Región por encima de la recta horizontal. - $3x - y \ge 150$: Al probar con $(0,0)$, $0 \ge 150$ es falso, por lo que es la región que no contiene al origen. - $6x + 7y \le 840$: Al probar con $(0,0)$, $0 \le 840$ es verdadero, por lo que es la región que contiene al origen.

Calculamos los puntos de corte de las rectas para obtener los vértices del recinto factible: 1. **Vértice A** ($r_1 \cap r_2$): $$\begin{cases} y = 30 \\ 3x - y = 150 \end{cases} \implies 3x - 30 = 150 \implies 3x = 180 \implies x = 60 \implies \mathbf{A(60, 30)}$$ 2. **Vértice B** ($r_2 \cap r_3$): $$\begin{cases} 3x - y = 150 \implies y = 3x - 150 \\ 6x + 7y = 840 \end{cases}$$ Sustituyendo $y$: $$6x + 7(3x - 150) = 840 \implies 6x + 21x - 1050 = 840 \implies 27x = 1890 \implies x = 70$$ Sustituyendo $x=70$ en $y$: $y = 3(70) - 150 = 60 \implies \mathbf{B(70, 60)}$ 3. **Vértice C** ($r_1 \cap r_3$): $$\begin{cases} y = 30 \\ 6x + 7y = 840 \end{cases} \implies 6x + 7(30) = 840 \implies 6x + 210 = 840 \implies 6x = 630 \implies x = 105 \implies \mathbf{C(105, 30)}$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos candidatos a ser máximos o mínimos de la función objetivo según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

Evaluamos la función $F(x, y) = 6x - 2y$ en cada uno de los vértices hallados: - En $A(60, 30)$: $F(60, 30) = 6(60) - 2(30) = 360 - 60 = 300$ - En $B(70, 60)$: $F(70, 60) = 6(70) - 2(60) = 420 - 120 = 300$ - En $C(105, 30)$: $F(105, 30) = 6(105) - 2(30) = 630 - 60 = 570$ El valor mínimo obtenido es **300**. Como este valor se alcanza en dos vértices contiguos ($A$ y $B$), la función alcanza su valor mínimo en todos los puntos del segmento que une dichos vértices. Esto ocurre porque la función objetivo es paralela a la restricción $r_2$ ($3x - y = 150$, que es equivalente a $6x - 2y = 300$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El valor mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une } A(60, 30) \text{ y } B(70, 60)}$$