Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos

Para estudiar la derivabilidad de una función a trozos, el primer paso obligatorio es estudiar su **continuidad**. Una función solo puede ser derivable en un punto si es continua en dicho punto. La función $f(x)$ está compuesta por funciones elementales (exponencial, constante y polinómica) que son continuas en sus respectivos dominios. Los puntos conflictivos donde cambia la definición son $x=0$ y $x=3$. **Estudio de la continuidad en $x=0$:** 1. **Valor de la función:** $f(0) = e^0 = 1$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x=0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x=a$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

**Estudio de la continuidad en $x=3$:** 1. **Valor de la función:** $f(3) = 1$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} 1 = 1$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (-x^2 + 6x + 2)$. Sustituimos $x=3$: $$\lim_{x \to 3^+} (-x^2 + 6x + 2) = -(3)^2 + 6(3) + 2 = -9 + 18 + 2 = 11.$$ Como los límites laterales no coinciden ($1 \neq 11$), existe un salto finito. Por tanto, la función **no es continua en $x=3$**. Al no ser continua en $x=3$, podemos afirmar directamente que **no es derivable en $x=3$**. $$\boxed{\text{f(x) no es continua en } x=3 \implies \text{f(x) no es derivable en } x=3}$$

Para estudiar la derivabilidad en el punto donde la función es continua ($x=0$), calculamos primero la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x)=\begin{cases} e^x & \text{si } x \lt 0,\\ 0 & \text{si } 0 \lt x \lt 3,\\ -2x + 6 & \text{si } x \gt 3. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al derivar una función a trozos para estudiar su derivabilidad, nunca incluyas el signo "igual" en los puntos de cambio hasta que hayas comprobado que las derivadas laterales coinciden.

Para que $f(x)$ sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: 1. **Derivada por la izquierda:** $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1$. 2. **Derivada por la derecha:** $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, es decir, $1 \neq 0$, la función **no es derivable en $x=0$**. Gráficamente, esto significa que hay un punto anguloso. ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{\text{f(x) no es derivable en } x=0}$$ En la siguiente gráfica puedes observar los cambios de rama y cómo en $x=3$ hay un salto evidente:

Tras analizar los puntos críticos, concluimos el dominio de derivabilidad de la función. - En $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ y $(3, +\infty)$ la función es derivable por ser exponencial, constante y polinómica respectivamente. - En $x=0$, es continua pero no derivable (derivadas laterales distintas). - En $x=3$, no es continua, por lo que tampoco es derivable. Por tanto, la función es derivable en: $$\boxed{\mathbb{R} - \{0, 3\} \quad \text{o bien} \quad (-\infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, +\infty)}$$