Probabilidad y Estadística 2013 Andalucia
Probabilidad total y Teorema de Bayes en clasificación de huevos
EJERCICIO 3
Una granja avícola dedicada a la producción de huevos posee un sistema automático de clasificación en tres calibres según su peso: grande, mediano y pequeño. Se conoce que el 40% de la producción es clasificada como huevos grandes, el 35% como medianos y el 25% restante como pequeños. Además, se sabe que este sistema de clasificación produce defectos por rotura en el cascarón que dependen del peso. Así, la probabilidad de que un huevo grande sea defectuoso por esta razón es del 5%, la de uno mediano del 3% y de un 2% la de uno pequeño. Elegido aleatoriamente un huevo,
a) (1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
b) (1.25 puntos) Si el huevo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea grande?
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a) (1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $G$: El huevo es de calibre **grande**.
- $M$: El huevo es de calibre **mediano**.
- $P$: El huevo es de calibre **pequeño**.
- $D$: El huevo es **defectuoso** (rotura en el cascarón).
- $\bar{D}$: El huevo **no es defectuoso**.
Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad:
- $P(G) = 0.40$
- $P(M) = 0.35$
- $P(P) = 0.25$
Las probabilidades condicionadas de ser defectuoso según el tamaño son:
- $P(D|G) = 0.05$
- $P(D|M) = 0.03$
- $P(D|P) = 0.02$
Representamos la situación mediante un **árbol de probabilidad**:
Paso 2
Aplicación del Teorema de la Probabilidad Total
Para calcular la probabilidad de que un huevo sea defectuoso, $P(D)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el defecto puede provenir de cualquiera de los tres calibres (que forman un sistema completo de sucesos).
La fórmula es:
$$P(D) = P(G) \cdot P(D|G) + P(M) \cdot P(D|M) + P(P) \cdot P(D|P)$$
Sustituimos los valores:
$$P(D) = 0.40 \cdot 0.05 + 0.35 \cdot 0.03 + 0.25 \cdot 0.02$$
$$P(D) = 0.020 + 0.0105 + 0.005$$
$$P(D) = 0.0355$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1 (por ejemplo, $0.40 + 0.35 + 0.25 = 1$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0.0355}$$
Paso 3
Aplicación del Teorema de Bayes
**b) (1.25 puntos) Si el huevo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea grande?**
En este apartado se nos pide una probabilidad a posteriori: conocemos el efecto (el huevo es defectuoso) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (que sea grande). Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**.
La probabilidad solicitada es $P(G|D)$:
$$P(G|D) = \frac{P(G \cap D)}{P(D)} = \frac{P(G) \cdot P(D|G)}{P(D)}$$
Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(G|D) = \frac{0.40 \cdot 0.05}{0.0355}$$
$$P(G|D) = \frac{0.02}{0.0355}$$
Para obtener un resultado exacto, podemos trabajar con fracciones:
$$P(G|D) = \frac{200}{355} = \frac{40}{71} \approx 0.5634$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'rama específica' dividida por la 'probabilidad total' del suceso final observado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G|D) = \frac{40}{71} \approx 0.5634}$$