Contraste de hipótesis para la media del IMC

Para realizar el contraste de hipótesis, lo primero es definir claramente la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$). El enunciado ya nos da la hipótesis nula. Llamamos $\mu$ a la media poblacional del IMC de los adolescentes. - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \le 25$. Representa la afirmación del director (el IMC medio no supera 25). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 25$. Es lo que intentaríamos probar si rechazamos la afirmación del director. Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**, ya que la sospecha de que la afirmación es falsa se daría si la media muestral es significativamente mayor que 25. $$\begin{cases} H_0: \mu \le 25 \\ H_1: \mu \gt 25 \end{cases}$$

Extraemos los datos del enunciado para construir nuestra estadística de contraste: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 25$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ - Tamaño de la muestra: $n = 225$ - Media muestral observada: $\bar{x} = 26$ - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$ (5%) Como la población sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error típico): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{225}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$

El nivel de significación es $\alpha = 0,05$. Para un contraste unilateral a la derecha, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0,05$ en una normal estándar $Z \sim N(0,1)$. Esto equivale a buscar el valor que deja a su izquierda una probabilidad de: $$1 - \alpha = 1 - 0,05 = 0,95$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 0,95 \implies z_{\alpha} = 1,645$$ (Nota: Si en las tablas ves $0,9495$ para $1,64$ y $0,9505$ para $1,65$, tomamos el punto medio). 💡 **Tip:** El valor crítico delimita la **zona de aceptación** ($Z \le 1,645$) y la **zona de rechazo** ($Z \gt 1,645$). $$\boxed{z_{\alpha} = 1,645}$$

Ahora calculamos cuánto se aleja nuestra media muestral ($\bar{x} = 26$) de la media supuesta ($\mu_0 = 25$) en términos de unidades de desviación típica. Tipificamos el valor obtenido de la muestra: $$z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$z_{exp} = \frac{26 - 25}{5/\sqrt{225}} = \frac{1}{5/15} = \frac{1}{1/3} = 3$$ El valor del estadístico de contraste es **$z_{exp} = 3$**. 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar consiste en restar la media y dividir por la desviación típica de la variable (en este caso, de la media muestral).

Comparamos el valor del estadístico calculado ($z_{exp}$) con el valor crítico ($z_{\alpha}$): Como $z_{exp} = 3$ y $z_{\alpha} = 1,645$, observamos que: $$z_{exp} \gt z_{\alpha} \implies 3 \gt 1,645$$ El valor experimental cae dentro de la **zona de rechazo**. Esto significa que la diferencia entre la media muestral (26) y la media hipotética (25) es demasiado grande para ser explicada por el azar con un 95% de confianza. **Conclusión:** Se rechaza la hipótesis nula $H_0$. Por lo tanto, con un nivel de significación del 5%, hay evidencia estadística suficiente para afirmar que el IMC medio de los adolescentes supera 25. La afirmación del director sanitario **no es correcta**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ La afirmación del director no es correcta.}}$$