Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^2$ y $A^{2013}$.** Para calcular $A^2$, multiplicamos la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \\ 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que el resultado es la matriz identidad de orden 2. 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I_n$ actúa como el número 1 en la multiplicación de matrices; cualquier matriz multiplicada por ella no varía. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{A^2 = I_2}$$

Como hemos obtenido que $A^2 = I_2$, podemos deducir las potencias sucesivas de $A$: - $A^1 = A$ - $A^2 = I_2$ - $A^3 = A^2 \cdot A = I_2 \cdot A = A$ - $A^4 = A^2 \cdot A^2 = I_2 \cdot I_2 = I_2$ En general, para cualquier exponente $n$: - Si $n$ es **par**, $A^n = I_2$. - Si $n$ es **impar**, $A^n = A$. Como el exponente $2013$ es un número impar: $$A^{2013} = A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{2013} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + I_2 = 5B^t - A^2$.** Primero simplificamos la ecuación utilizando el resultado del apartado anterior ($A^2 = I_2$): $$A \cdot X + I_2 = 5B^t - I_2$$ Ahora, aislamos el término que contiene la incógnita $X$ restando $I_2$ en ambos lados: $$A \cdot X = 5B^t - I_2 - I_2 \implies A \cdot X = 5B^t - 2I_2$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (5B^t - 2I_2)$$ $$X = A^{-1} \cdot (5B^t - 2I_2)$$ 💡 **Tip:** Como $A^2 = I_2$, esto significa que $A \cdot A = I_2$, por lo que la matriz inversa de $A$ es ella misma: **$A^{-1} = A$**.

Calculamos primero la matriz transpuesta de $B$ y luego la operación $5B^t - 2I_2$. Si $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, entonces su transpuesta (cambiar filas por columnas) es: $$B^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar 5: $$5B^t = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ 10 & 5 \end{pmatrix}$$ Restamos $2I_2$: $$5B^t - 2I_2 = \begin{pmatrix} 5 & 15 \\ 10 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 15 \\ 10 & 3 \end{pmatrix}$$

Sustituimos los valores en la expresión despejada $X = A \cdot (5B^t - 2I_2)$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 15 \\ 10 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto final: $$X = \begin{pmatrix} 0\cdot 3 + 1\cdot 10 & 0\cdot 15 + 1\cdot 3 \\ 1\cdot 3 + 0\cdot 10 & 1\cdot 15 + 0\cdot 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 3 & 15 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar por la matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ por la izquierda, el efecto práctico es que se intercambian las filas de la matriz que multiplicas. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 3 & 15 \end{pmatrix}}$$