Estudio de continuidad, derivabilidad y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.** Primero, analizamos la continuidad en cada una de las ramas de la función: 1. **En el intervalo $(-\infty, 1)$:** La función es $f(x) = \frac{1}{2-x}$. Se trata de una función racional cuyo dominio son todos los reales excepto $x = 2$. Como $x = 2$ no pertenece a este intervalo, la función es **continua** en $(-\infty, 1)$. 2. **En el intervalo $(1, +\infty)$:** La función es $f(x) = x^2 - 6x + 6$. Al ser una función polinómica, es **continua** en todo su dominio, y por tanto en $(1, +\infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales...) son continuas en sus dominios. El único punto "conflictivo" suele ser el valor de cambio de rama.

Para que la función sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: - **Valor de la función:** $$f(1) = \frac{1}{2-1} = \frac{1}{1} = 1$$ - **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2-x} = \frac{1}{1} = 1$$ - **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 6x + 6) = 1^2 - 6(1) + 6 = 1 - 6 + 6 = 1$$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$, la función es **continua en $x = 1$**. ✅ **Resultado continuidad:** $$\boxed{\text{La función es continua en } \mathbb{R}}$$

Una vez comprobada la continuidad, calculamos la función derivada en las ramas abiertas: - Para $x < 1$: Derivamos $f(x) = (2-x)^{-1}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = -1 \cdot (2-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(2-x)^2}$$ - Para $x > 1$: Derivamos el polinomio $f(x) = x^2 - 6x + 6$: $$f'(x) = 2x - 6$$ Por tanto, la función derivada provisional es: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{(2-x)^2} & \text{si } x < 1 \\ 2x - 6 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en el punto de salto **$x = 1$**: - **Derivada por la izquierda:** $f'(1^-) = \frac{1}{(2-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$ - **Derivada por la derecha:** $f'(1^+) = 2(1) - 6 = -4$ Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, la función **no es derivable en $x = 1$**. ✅ **Resultado derivabilidad:** $$\boxed{\text{La función es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Para hallar la recta tangente en $x = 0$, necesitamos el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m = f'(x_0)$. 1. **Punto de tangencia:** Como $0 \le 1$, usamos la primera rama: $$x_0 = 0 \implies f(0) = \frac{1}{2-0} = \frac{1}{2}$$ El punto es $(0, 1/2)$. 2. **Pendiente de la tangente:** Usamos la derivada de la primera rama calculada anteriormente: $$m = f'(0) = \frac{1}{(2-0)^2} = \frac{1}{4}$$ 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: $$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}(x - 0)$$ $$y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}}$$