Probabilidad condicionada y tablas de contingencia

Para resolver este problema de forma clara, lo primero es organizar la información en una tabla de contingencia. Vamos a definir los sucesos según la edad y el sentido del voto. **Sucesos de edad:** - $M_{40}$: Menores de 40 años. - $E_{40-60}$: Entre 40 y 60 años. - $M_{60}$: Mayores de 60 años. **Sucesos de voto:** - $A$: Acepta la propuesta. - $R$: Rechaza la propuesta. Calculamos el número de personas en el grupo intermedio: $105 - 45 - 18 = 42$ personas. Ahora calculamos los rechazos: - Rechazos $M_{40}$: $\frac{1}{3} \cdot 45 = 15$. - Rechazos $E_{40-60}$: $\frac{1}{3} \cdot 42 = 14$. - Rechazos $M_{60}$: $4$ (dato directo). Calculamos las aceptaciones restando al total de cada grupo sus rechazos: - Acepta $M_{40}$: $45 - 15 = 30$. - Acepta $E_{40-60}$: $42 - 14 = 28$. - Acepta $M_{60}$: $18 - 4 = 14$. **Tabla de contingencia final:** $$\begin{array}{c|ccc|c} & M_{40} & E_{40-60} & M_{60} & \text{Total} \\ \hline \text{Acepta (A)} & 30 & 28 & 14 & 72 \\ \text{Rechaza (R)} & 15 & 14 & 4 & 33 \\ \hline \text{Total} & 45 & 42 & 18 & 105 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con varios grupos y opciones excluyentes, la tabla de contingencia es la herramienta más rápida para visualizar todas las intersecciones y marginales.

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y haya aceptado la propuesta.** Buscamos la probabilidad de la intersección de ser menor de 40 años y aceptar la propuesta: $P(M_{40} \cap A)$. Utilizando la Regla de Laplace: $$P(M_{40} \cap A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{30}{105}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 15: $$P(M_{40} \cap A) = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M_{40} \cap A) = \frac{2}{7} \approx 0.2857}$$

**b) (0.75 puntos) La prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por el 80% de los asistentes, ¿es correcta la afirmación?** Debemos calcular el porcentaje total de personas que aceptaron la propuesta y compararlo con el 80%. El número total de personas que aceptaron es la suma de los que aceptaron en cada rango de edad, que según nuestra tabla es $72$. Calculamos la probabilidad global de aceptar $P(A)$: $$P(A) = \frac{\text{Total Aceptan}}{\text{Total Asistentes}} = \frac{72}{105}$$ Convertimos a porcentaje: $$\frac{72}{105} \approx 0.6857 \implies 68.57\%$$ Como $68.57\% \neq 80\%$, la afirmación de la prensa es incorrecta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es correcta, el porcentaje de aceptación fue del } 68.57\%}$$

**c) (1 punto) Si una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta, ¿qué probabilidad hay de que tenga más de 60 años?** Se trata de una probabilidad condicionada: sabemos que la persona ha rechazado la propuesta ($R$), y queremos saber la probabilidad de que pertenezca al grupo de mayores de 60 años ($M_{60}$). Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(M_{60} | R) = \frac{P(M_{60} \cap R)}{P(R)}$$ Mirando nuestra tabla de contingencia: - Casos que rechazan y son mayores de 60 ($M_{60} \cap R$): $4$ - Total de casos que rechazan ($R$): $33$ Por tanto: $$P(M_{60} | R) = \frac{4}{33} \approx 0.1212$$ 💡 **Tip:** Cuando usamos una tabla de contingencia, la probabilidad condicionada $P(B|A)$ se calcula simplemente mirando la fila o columna de $A$ como si fuera nuestro nuevo "total". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M_{60} | R) = \frac{4}{33} \approx 0.1212}$$