Intervalo de confianza y tamaño muestral para la proporción

**a) (1.5 puntos) Halle el intervalo de confianza del 90% para la proporción de habitantes que navegan al menos una vez en semana.** Primero extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Individuos con la característica: $x = 160$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ (habitantes que navegan) y su complementario $\hat{q}$ (habitantes que no navegan): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{160}{400} = 0.4$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.4 = 0.6$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el cociente entre el número de éxitos y el total de la muestra. Su complementario $\hat{q}$ es lo que falta hasta llegar a 1. $$\boxed{\hat{p} = 0.4, \quad \hat{q} = 0.6}$$

Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.90$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Hallamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$ 2. Hallamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0.05$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal $N(0, 1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.05 = 0.95$$ Mirando en las tablas de la distribución Normal, el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Por tanto, tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: - $90\% \to z_{\alpha/2} = 1.645$ - $95\% \to z_{\alpha/2} = 1.96$ - $99\% \to z_{\alpha/2} = 2.575$ $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{400}} = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{400}} = 1.645 \cdot \sqrt{0.0006} \approx 1.645 \cdot 0.02449 \approx 0.0403$$ El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.4 - 0.0403, 0.4 + 0.0403) = (0.3597, 0.4403)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.3597, 0.4403)}$$

**b) (1 punto) A la vista del resultado, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota del error de 0.1 con el mismo nivel de confianza del apartado anterior. ¿Cuántos individuos debe tener al menos la muestra?** En este apartado nos piden hallar $n$ conocidos los siguientes datos: - Error máximo: $E = 0.1$ - Nivel de confianza: $90\% \implies z_{\alpha/2} = 1.645$ (el mismo del apartado anterior). - Proporción estimada: Usamos la de la muestra anterior, $\hat{p} = 0.4$ y $\hat{q} = 0.6$. 💡 **Tip:** Cuando se pide el tamaño de la muestra y no dan una proporción previa, se suele usar el caso más desfavorable $\hat{p} = 0.5$. Sin embargo, aquí el enunciado dice "a la vista del resultado", por lo que debemos usar el valor de $\hat{p}$ obtenido en el apartado a).

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.645)^2 \cdot 0.4 \cdot 0.6}{(0.1)^2} = \frac{2.706025 \cdot 0.24}{0.01} = \frac{0.649446}{0.01} = 64.9446$$ Como el número de individuos debe ser entero y necesitamos que el error sea **como máximo** 0.1, siempre debemos redondear al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 65 \text{ individuos}}$$