Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1.25 puntos) Obtenga $a$ y $b$ sabiendo que $A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. ¿Es $A$ simétrica?** Primero, calculamos la matriz $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + (-1) \cdot a & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot b \\ a \cdot 2 + b \cdot a & a \cdot (-1) + b \cdot b \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 4 - a & -2 - b \\ 2a + ab & -a + b^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda.

Igualamos el resultado obtenido con la matriz dada en el enunciado: $$\begin{pmatrix} 4 - a & -2 - b \\ 2a + ab & -a + b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ De la igualdad de matrices surgen las siguientes ecuaciones elemento a elemento: 1) $4 - a = 5$ 2) $-2 - b = -2$ 3) $2a + ab = -2$ 4) $-a + b^2 = 1$ Resolvemos la ecuación (1): $$4 - a = 5 \implies -a = 5 - 4 \implies -a = 1 \implies a = -1$$ Resolvemos la ecuación (2): $$-2 - b = -2 \implies -b = -2 + 2 \implies -b = 0 \implies b = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los valores en las ecuaciones restantes para asegurar la coherencia.

Comprobamos los valores $a = -1$ y $b = 0$ en las ecuaciones (3) y (4): Para la (3): $2(-1) + (-1)(0) = -2 + 0 = -2$ (Correcto). Para la (4): $-(-1) + 0^2 = 1 + 0 = 1$ (Correcto). Por tanto, los valores son **$a = -1$** y **$b = 0$**. La matriz $A$ resultante es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Una matriz es simétrica si $A = A^t$. Calculamos la transpuesta: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Como $A = A^t$, la matriz **es simétrica**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, b = 0 \text{ y } A \text{ es simétrica}}$$

**b) (1.25 puntos) Para los valores $a = 3$ y $b = 1$ calcule la matriz $X$ tal que $A \cdot B = 2(X - 3I_2)$.** Con $a = 3$ y $b = 1$, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ Primero, despejamos $X$ de la ecuación $A \cdot B = 2(X - 3I_2)$: $$\frac{1}{2} (A \cdot B) = X - 3I_2 \implies X = \frac{1}{2} (A \cdot B) + 3I_2$$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones matriciales, trata las matrices como variables algebraicas, pero recuerda que el orden del producto importa (aunque aquí no hay productos de $X$).

Calculamos $A \cdot B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1) + (-1)3 & 2(1) + (-1)0 \\ 3(-1) + 1(3) & 3(1) + 1(0) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -2 - 3 & 2 + 0 \\ -3 + 3 & 3 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2} (A \cdot B) = \begin{pmatrix} -5/2 & 1 \\ 0 & 3/2 \end{pmatrix}$$

Ahora sumamos $3I_2$: $$X = \begin{pmatrix} -5/2 & 1 \\ 0 & 3/2 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/2 & 1 \\ 0 & 3/2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -5/2 + 3 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3/2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 0 & 9/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 0 & 9/2 \end{pmatrix}}$$