Estudio de beneficios de una empresa

**a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y los extremos de $B(t)$.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y localizar los extremos relativos, primero calculamos la función derivada $B'(t)$. Dada la función: $$B(t) = \frac{t^3}{4} - 3t^2 + 9t$$ Derivamos término a término: $$B'(t) = \frac{3t^2}{4} - 6t + 9$$ Ahora, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$\frac{3t^2}{4} - 6t + 9 = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por 4: $$3t^2 - 24t + 36 = 0$$ Dividimos entre 3: $$t^2 - 8t + 12 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$t_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad t_2 = \frac{4}{2} = 2$$ Ambos valores pertenecen al dominio $[0, 8]$. 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a ser máximos o mínimos. No olvides comprobar siempre que están dentro del intervalo de estudio.

Dividimos el intervalo $[0, 8]$ usando los puntos críticos hallados ($t=2$ y $t=6$) y analizamos el signo de $B'(t)$ en cada subintervalo: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,2) & 2 & (2,6) & 6 & (6,8)\\\hline B'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline B(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 2)$: Si probamos con $t=1$, $B'(1) = \frac{3}{4} - 6 + 9 = 3.75 > 0$ (**Creciente**). - En $(2, 6)$: Si probamos con $t=4$, $B'(4) = \frac{3(16)}{4} - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$ (**Decreciente**). - En $(6, 8)$: Si probamos con $t=7$, $B'(7) = \frac{3(49)}{4} - 42 + 9 = 36.75 - 42 + 9 = 3.75 > 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 2) \cup (6, 8) \quad \text{y decreciente en } (2, 6)}$$

Para determinar los extremos, evaluamos la función original $B(t)$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[0, 8]$. 1. **En $t=0$:** $B(0) = 0$ millones. 2. **En $t=2$:** $B(2) = \frac{2^3}{4} - 3(2^2) + 9(2) = \frac{8}{4} - 12 + 18 = 2 + 6 = 8$ millones. 3. **En $t=6$:** $B(6) = \frac{6^3}{4} - 3(6^2) + 9(6) = \frac{216}{4} - 108 + 54 = 54 - 108 + 54 = 0$ millones. 4. **En $t=8$:** $B(8) = \frac{8^3}{4} - 3(8^2) + 9(8) = \frac{512}{4} - 192 + 72 = 128 - 192 + 72 = 8$ millones. Comparando valores: - Máximos absolutos: Se alcanzan en **$t=2$** y **$t=8$** con un valor de **$8$ millones**. - Mínimos absolutos: Se alcanzan en **$t=0$** y **$t=6$** con un valor de **$0$ millones**. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximos en } (2, 8) \text{ y } (8, 8); \text{ Mínimos en } (0, 0) \text{ y } (6, 0)}$$

**b) (1 punto) Dibuje la gráfica de $B(t)$ en el intervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.** Utilizamos los puntos calculados anteriormente para representar la función: $(0,0)$, $(2,8)$, $(6,0)$ y $(8,8)$. La evolución de los beneficios se explica así: 1. **De 0 a 2 años:** La empresa comienza sin beneficios y estos **crecen rápidamente** hasta alcanzar los 8 millones de euros. 2. **De 2 a 6 años:** Los beneficios **disminuyen progresivamente** hasta llegar a cero en el sexto año (posible crisis o reinversión). 3. **De 6 a 8 años:** La empresa se recupera y los beneficios **vuelven a crecer** hasta alcanzar de nuevo los 8 millones de euros al finalizar el octavo año.

A continuación se presenta la gráfica de la función de beneficios en el dominio indicado.