Probabilidad en desplazamientos de alumnos

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el transporte y el género: * $T$: El alumno utiliza transporte público. * $V$: El alumno utiliza vehículo propio. * $A$: El alumno va andando. * $H$: El alumno es hombre. * $M$: El alumno es mujer. Datos del enunciado: $P(T) = 0.55$ $P(V) = 0.30$ $P(A) = 1 - (0.55 + 0.30) = 0.15$ (ya que el resto va andando). Probabilidades condicionadas (género según transporte): $P(M|T) = 0.65 \implies P(H|T) = 1 - 0.65 = 0.35$ $P(H|V) = 0.70 \implies P(M|V) = 1 - 0.70 = 0.30$ $P(M|A) = 0.52 \implies P(H|A) = 1 - 0.52 = 0.48$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

**a) (1.5 puntos) Elegido al azar un alumno de ese centro, calcule la probabilidad de que sea hombre.** Para calcular la probabilidad total de ser hombre $P(H)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser hombre en cada una de las tres categorías de transporte: $$P(H) = P(T) \cdot P(H|T) + P(V) \cdot P(H|V) + P(A) \cdot P(H|A)$$ Sustituimos los valores obtenidos de los datos: $$P(H) = (0.55 \cdot 0.35) + (0.30 \cdot 0.70) + (0.15 \cdot 0.48)$$ $$P(H) = 0.1925 + 0.21 + 0.072$$ $$P(H) = 0.4745$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varias vías o particiones distintas (en este caso, los tres medios de transporte). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.4745}$$

**b) (1 punto) Elegido al azar un hombre, alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya andando?** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que vaya andando dado que ya sabemos que es hombre, es decir, $P(A|H)$. Utilizamos la definición de **probabilidad condicionada** (o el Teorema de Bayes): $$P(A|H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)}$$ Ya conocemos el denominador del apartado anterior: $P(H) = 0.4745$. Calculamos la intersección $P(A \cap H)$, que es la probabilidad de que el alumno vaya andando y sea hombre: $$P(A \cap H) = P(A) \cdot P(H|A) = 0.15 \cdot 0.48 = 0.072$$ Ahora calculamos el cociente: $$P(A|H) = \frac{0.072}{0.4745} \approx 0.151738...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(A|H) \approx 0.1517$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición. Si conocemos $P(H|A)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(A|H)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|H) \approx 0.1517}$$