Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de confianza del 94%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Número de hembras (éxitos): $x = 175$ Calculamos la proporción muestral de hembras ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{175}{500} = 0.35$$ Calculamos la proporción complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.35 = 0.65$$ 💡 **Tip:** En inferencia sobre proporciones, siempre trabajamos con $\hat{p}$ (proporción de la muestra) y $\hat{q}$ (su complementario). La suma de ambos siempre debe ser 1.

Para un nivel de confianza del $94\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06$$ Repartimos el error en las dos colas de la distribución normal: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.06}{2} = 0.03$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - Para $z = 1.88$, la probabilidad es $0.9699$ - Para $z = 1.89$, la probabilidad es $0.9706$ El valor más cercano a $0.97$ es $1.88$. Por tanto, tomamos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central bajo la campana de Gauss. Si el centro es $0.94$, queda un $0.06$ fuera, repartido en $0.03$ a cada lado.

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \; \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error cometido ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.35 \cdot 0.65}{500}}$$ $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.2275}{500}} = 1.88 \cdot \sqrt{0.000455} \approx 1.88 \cdot 0.02133 = 0.0401$$ Ahora formamos el intervalo restando y sumando el error a la proporción muestral: - Extremo inferior: $0.35 - 0.0401 = 0.3099$ - Extremo superior: $0.35 + 0.0401 = 0.3901$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.3099, \; 0.3901)}$$

**b) (1 punto) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza con el mismo nivel y un error máximo de 0.02, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra?** Datos para este apartado: - Nivel de confianza: $94\% \implies z_{\alpha/2} = 1.88$ (el mismo que en el apartado anterior). - Error máximo permitido: $E = 0.02$. - Proporción estimada (usamos la de la muestra anterior): $\hat{p} = 0.35$ y $\hat{q} = 0.65$. La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Queremos despejar $n$, por lo que elevamos al cuadrado y despejamos: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Si no nos dieran una proporción previa, para calcular el tamaño muestral más desfavorable (máximo), usaríamos $\hat{p} = 0.5$.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \frac{1.88^2 \cdot 0.35 \cdot 0.65}{0.02^2}$$ $$n = \frac{3.5344 \cdot 0.2275}{0.0004}$$ $$n = \frac{0.804076}{0.0004} = 2010.19$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.02$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. $n \ge 2010.19 \implies n = 2011$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 2011 \text{ peces}}$$