Optimización de la producción: Fabricación de tapices

**a) (2 puntos) ¿cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de tapices del tipo A a fabricar. - $y$: número de tapices del tipo B a fabricar. La función que queremos maximizar es el beneficio total obtenido por la venta de los tapices: $$B(x, y) = 2000x + 3000y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las incógnitas basándote en la pregunta del problema (qué nos piden calcular) y construye la función objetivo con los precios o beneficios unitarios.

A partir de los datos de disponibilidad de materiales, planteamos las inecuaciones que limitan la producción: 1. **Hilo de seda:** Se usa 1 kg para A y 2 kg para B. Total disponible: 500 kg. $$x + 2y \le 500$$ 2. **Hilo de plata:** Se usan 2 kg para A y 1 kg para B. Total disponible: 400 kg. $$2x + y \le 400$$ 3. **Hilo de oro:** Solo se usa en el tipo B (1 kg). Total disponible: 225 kg. $$y \le 225$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar tapices negativos. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Es muy útil organizar los datos en una tabla si el enunciado es complejo para no olvidar ninguna restricción.

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones. Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones asociados a las fronteras: - **Vértice O:** Origen $(0, 0)$. - **Vértice A (Eje Y):** Intersección de $x=0$ con $y=225$. $\implies A(0, 225)$. - **Vértice B:** Intersección de $y=225$ y $x + 2y = 500$. $$x + 2(225) = 500 \implies x + 450 = 500 \implies x = 50 \implies B(50, 225)$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + 2y = 500$ y $2x + y = 400$. Resolviendo por reducción (multiplicando la primera por -2): $$\begin{cases} -2x - 4y = -1000 \\ 2x + y = 400 \end{cases} \implies -3y = -600 \implies y = 200$$ Sustituyendo: $x + 2(200) = 500 \implies x = 100 \implies C(100, 200)$ - **Vértice D (Eje X):** Intersección de $y=0$ con $2x + y = 400$. $$2x = 400 \implies x = 200 \implies D(200, 0)$$ $$\boxed{Vértices: O(0,0), A(0,225), B(50,225), C(100,200), D(200,0)}$$

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 2000x + 3000y$ en cada vértice para encontrar el máximo: $$\begin{array}{c|l} \text{Vértice } (x, y) & B(x, y) = 2000x + 3000y \\\hline O(0, 0) & 2000(0) + 3000(0) = 0\text{ €} \\ A(0, 225) & 2000(0) + 3000(225) = 675000\text{ €} \\ B(50, 225) & 2000(50) + 3000(225) = 100000 + 675000 = 775000\text{ €} \\ C(100, 200) & 2000(100) + 3000(200) = 200000 + 600000 = 800000\text{ €} \\ D(200, 0) & 2000(200) + 3000(0) = 400000\text{ €} \end{array}$$ El beneficio máximo es de **800.000 euros**, fabricando **100 tapices tipo A** y **200 tapices tipo B**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Máximo beneficio: 800.000 € con 100 tipo A y 200 tipo B}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio?** Sustituimos el punto óptimo $(x, y) = (100, 200)$ en las expresiones del gasto de material: - **Hilo de seda gastado:** $1x + 2y = 100 + 2(200) = 500$ kg. Sobrante: $500 - 500 = 0$ kg. - **Hilo de plata gastado:** $2x + 1y = 2(100) + 200 = 400$ kg. Sobrante: $400 - 400 = 0$ kg. - **Hilo de oro gastado:** $y = 200$ kg. Sobrante: $225 - 200 = 25$ kg. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Quedarán 0 kg de seda, 0 kg de plata y 25 kg de oro.}}$$