Estudio de una función a partir de su derivada

**a) (1 punto) Estudie razonadamente la monotonía de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía de una función $f(x)$, debemos analizar el signo de su derivada $f'(x)$. El enunciado nos indica que $f'(x)$ es una parábola que: - Corta al eje $OX$ en $x = -1$ y $x = 5$. Estos son los puntos donde $f'(x) = 0$. - Tiene su vértice en $(2, -4)$. Al ser la coordenada $y$ del vértice negativa ($-4$) y encontrarse entre las raíces, la parábola debe abrirse hacia arriba ($a \gt 0$). Esto significa que: - $f'(x) \gt 0$ en los intervalos $(-\infty, -1)$ y $(5, +\infty)$. - $f'(x) \lt 0$ en el intervalo $(-1, 5)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece.

A partir de la forma de la parábola descrita anteriormente, construimos la tabla de signos para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 5) & 5 & (5, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Por tanto: - La función $f(x)$ es **creciente** en $(-\infty, -1) \cup (5, +\infty)$. - La función $f(x)$ es **decreciente** en $(-1, 5)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ crece en } (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \text{ y decrece en } (-1, 5)}$$

**b) (0.5 puntos) Determine las abscisas de los extremos relativos de la función $f(x)$.** Los extremos relativos (máximos y mínimos) se encuentran en los puntos donde la derivada se anula ($f'(x) = 0$) y hay un cambio de signo en la misma: 1. En **$x = -1$**: La derivada pasa de ser positiva a negativa ($+ \to -$). Por lo tanto, en $x = -1$ hay un **máximo relativo**. 2. En **$x = 5$**: La derivada pasa de ser negativa a positiva ($- \to +$). Por lo tanto, en $x = 5$ hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Las abscisas son simplemente los valores de $x$ donde ocurren estos eventos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } x = -1, \text{ Mínimo relativo en } x = 5}$$

**c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$, sabiendo que $f(2) = 5$.** La ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, se nos pide en $x = 2$, por lo que necesitamos: - El punto de tangencia: $f(2) = 5$ (dato aportado por el enunciado). - La pendiente de la tangente: $m = f'(2)$. El enunciado nos dice que el **vértice de la parábola $f'(x)$ es el punto $(2, -4)$**. Esto significa directamente que el valor de la función derivada cuando $x=2$ es $-4$: $$f'(2) = -4$$ Sustituimos los valores en la fórmula: $$y - 5 = -4(x - 2)$$ Operamos para simplificar la ecuación: $$y - 5 = -4x + 8$$ $$y = -4x + 8 + 5$$ $$y = -4x + 13$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el valor de la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -4x + 13}$$