Probabilidad de sucesos independientes

Antes de resolver los apartados, identificamos los datos proporcionados y calculamos las probabilidades básicas de los sucesos y sus complementarios. Sabemos que: - $P(A) = 0.3 \implies P(A^C) = 1 - 0.3 = 0.7$ - $P(B^C) = 0.25 \implies P(B) = 1 - 0.25 = 0.75$ Como los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**, se cumple que la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.75 = 0.225$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, también lo son sus complementarios entre sí. Esto facilita completar la tabla de contingencia: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^C & \text{Total} \\\hline A & 0.225 & 0.075 & 0.3 \\ A^C & 0.525 & 0.175 & 0.7 \\\hline \text{Total} & 0.75 & 0.25 & 1 \end{array}$$ Los valores internos se obtienen multiplicando las probabilidades marginales (por independencia), por ejemplo: $P(A \cap B^C) = P(A) \cdot P(B^C) = 0.3 \cdot 0.25 = 0.075$.

**a) (0.75 puntos) $P(A \cup B)$.** Para calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos, utilizamos la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(A \cup B) = 0.3 + 0.75 - 0.225$$ $$P(A \cup B) = 1.05 - 0.225 = 0.825$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad nunca puede ser mayor que $1$. Si al sumar $P(A) + P(B)$ superas la unidad, es imprescindible restar la intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.825}$$

**b) (0.75 puntos) $P(A^C \cap B^C)$.** Podemos resolver este apartado de dos formas. **Método 1: Leyes de De Morgan** Sabemos que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C) = 1 - P(A \cup B)$$ Utilizando el resultado del apartado anterior: $$P(A^C \cap B^C) = 1 - 0.825 = 0.175$$ **Método 2: Independencia** Como $A$ y $B$ son independientes, sus complementarios $A^C$ y $B^C$ también lo son: $$P(A^C \cap B^C) = P(A^C) \cdot P(B^C) = 0.7 \cdot 0.25 = 0.175$$ Ambos métodos confirman el mismo resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^C \cap B^C) = 0.175}$$

**c) (1 punto) $P(A / B^C)$.** La probabilidad de $A$ condicionada a $B^C$ se define como: $$P(A / B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$$ Calculamos la intersección $P(A \cap B^C)$. Como son independientes: $$P(A \cap B^C) = P(A) \cdot P(B^C) = 0.3 \cdot 0.25 = 0.075$$ Ahora aplicamos la fórmula de la condicionada: $$P(A / B^C) = \frac{0.075}{0.25} = 0.3$$ 💡 **Tip:** Por definición, si $A$ y $B$ son independientes, el hecho de que ocurra $B$ (o $B^C$) no afecta a la probabilidad de $A$. Por tanto, $P(A/B) = P(A/B^C) = P(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A / B^C) = 0.3}$$