Intervalos de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra.** En un intervalo de confianza para la media de una distribución normal, la media muestral ($\bar{x}$) es siempre el punto medio del intervalo. Dado el intervalo $(188.18, 208.82)$, calculamos el valor central: $$\bar{x} = \frac{188.18 + 208.82}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{397}{2} = 198.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Por lo tanto, la media muestral es la media aritmética de los extremos. ✅ **Resultado (media muestral):** $$\boxed{\bar{x} = 198.5 \text{ minutos}}$$

Para hallar el tamaño de la muestra ($n$), primero identificamos el error máximo admitido ($E$) y el valor crítico ($z_{\alpha/2}$). El error es la distancia desde la media hasta cualquiera de los extremos del intervalo: $$E = 208.82 - 198.5 = 10.32$$ Para un nivel de confianza del $99\%$: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$. Buscamos en la tabla de la normal $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Consultando la tabla: $p(Z \le 2.57) = 0.9949$ $p(Z \le 2.58) = 0.9951$ Tomamos el valor intermedio o el más aproximado, habitualmente **$z_{\alpha/2} = 2.575$**. 💡 **Tip:** El error máximo se calcula también como la mitad de la amplitud del intervalo: $E = \frac{\text{Límite Superior} - \text{Límite Inferior}}{2}$.

Utilizamos la fórmula del error máximo para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $E = 10.32$, $z_{\alpha/2} = 2.575$ y $\sigma = 75$: $$10.32 = 2.575 \cdot \frac{75}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} = \frac{2.575 \cdot 75}{10.32}$$ $$\sqrt{n} = \frac{193.125}{10.32} \approx 18.7136$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para obtener $n$: $$n = (18.7136)^2 \approx 350.2$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el intervalo ya ha sido calculado, ajustamos al valor entero más probable del diseño del ejercicio. ✅ **Resultado (tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 350}$$

**b) (1 punto) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 96%.** Identificamos los nuevos datos: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Desviación típica (se mantiene): $\sigma = 75$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \alpha/2 = 0.02$. Buscamos en la tabla de la normal $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$. En la tabla: $p(Z \le 2.05) = 0.9798$ $p(Z \le 2.06) = 0.9803$ El valor más cercano es **$z_{\alpha/2} = 2.05$** (también se suele usar $2.055$ por interpolación, usaremos $2.05$ por ser el estándar de redondeo en tablas).

Aplicamos la fórmula del error con los nuevos datos: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 2.05 \cdot \frac{75}{\sqrt{500}}$$ Calculamos el denominador: $$\sqrt{500} \approx 22.36$$ Calculamos el error: $$E = \frac{2.05 \cdot 75}{22.36} = \frac{153.75}{22.36} \approx 6.876$$ 💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra ($n$), menor será el error máximo cometido, manteniendo el mismo nivel de confianza. ✅ **Resultado (error máximo):** $$\boxed{E \approx 6.88 \text{ minutos}}$$