Contraste de hipótesis para la media del precio de vivienda

**a) Con una significación del $5\%$, ¿se puede aceptar la hipótesis de que el precio medio del metro cuadrado de vivienda nueva, en la zona y ciudad citadas, sigue siendo de 1800 euros y que, por tanto, no hay evidencias de que haya disminuido?** Primero, identificamos los datos del problema asegurándonos de que todas las unidades sean coherentes (precio por metro cuadrado): - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 1800 \text{ €}/m^2$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 200 \text{ €}/m^2$. - Tamaño de la muestra: $n = 36$ viviendas. - Superficie de cada vivienda: $90 \text{ m}^2$. - Precio medio por vivienda en la muestra: $155250 \text{ €}$. Calculamos la media muestral del precio por metro cuadrado ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{155250 \text{ €}}{90 \text{ m}^2} = 1725 \text{ €}/m^2.$$ 💡 **Tip:** Es fundamental que la media muestral $\bar{x}$ y la media poblacional $\mu$ estén en las mismas unidades. Como el enunciado da el precio por vivienda, debemos dividirlo por los metros cuadrados.

Queremos contrastar si el precio medio se mantiene o ha disminuido. Definimos las hipótesis del contraste: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu = 1800$ (El precio medio sigue siendo de $1800 \text{ €}/m^2$). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu < 1800$ (El precio medio ha disminuido). Se trata de un **contraste unilateral izquierdo**, ya que la sospecha es que el precio ha bajado. 💡 **Tip:** En los problemas de "evidencias de disminución", la hipótesis alternativa siempre utiliza el signo menor ($<$).

Como el tamaño de la muestra es grande ($n = 36 \ge 30$), el estadístico de contraste sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta: $$Z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{obs} = \frac{1725 - 1800}{200 / \sqrt{36}} = \frac{-75}{200 / 6} = \frac{-75}{33,33} = -2,25.$$ El valor observado del estadístico es **$-2,25$**.

Para un nivel de significación del $\alpha = 5\% = 0,05$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z < -z_{\alpha}) = 0,05.$$ Consultando la tabla de la normal estándar, para una probabilidad acumulada de $0,95$ (en el lado derecho), el valor es $1,645$. Al ser por la izquierda, el valor crítico es: $$-z_{0,05} = -1,645.$$ **Región de aceptación:** $Z \ge -1,645$ **Región crítica (rechazo):** $Z < -1,645$ Comparación: Como $Z_{obs} = -2,25$ y $-2,25 < -1,645$, el estadístico cae en la **región de rechazo**. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{No se puede aceptar } H_0. \text{ Hay evidencias significativas de que el precio ha disminuido.}}$$

**b) ¿Se obtiene la misma conclusión con una significación del $0,5\%$?** Repetimos el proceso para $\alpha = 0,5\% = 0,005$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{0,005}$ tal que: $$P(Z < -z_{0,005}) = 0,005.$$ Buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja a su derecha una probabilidad de $0,005$ (o a su izquierda $0,995$): $$-z_{0,005} = -2,575.$$ **Región de aceptación:** $Z \ge -2,575$ **Región crítica (rechazo):** $Z < -2,575$ Comparación: En este caso, $Z_{obs} = -2,25$ es **mayor** que $-2,575$. Por tanto, el valor cae dentro de la **región de aceptación**. 💡 **Tip:** Al ser el nivel de significación mucho más exigente (menor probabilidad de error tipo I), la región de rechazo se hace más pequeña y es más difícil rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{No se obtiene la misma conclusión. Para } \alpha=0,005 \text{ se acepta la hipótesis } H_0.}$$