Intervalo de confianza y tamaño muestral para el sueldo medio

**a) Construir un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,99, para la media del sueldo de dichos técnicos especialistas.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 49$ - Media muestral: $\bar{x} = 2075$ € - Desviación típica (poblacional o de la muestra): $\sigma = 250$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $99\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0,99$, entonces $\alpha = 0,01$. 2. Dividimos el nivel de significación: $\alpha/2 = 0,005$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Consultando las tablas de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0,995$ se encuentra entre $z=2,57$ y $z=2,58$. Tomamos el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ define la región central que contiene el porcentaje de confianza deseado. Para el $99\%$, es habitual usar $2,575$ o $2,58$.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,575 \cdot \frac{250}{\sqrt{49}} = 2,575 \cdot \frac{250}{7}$$ $$E = 2,575 \cdot 35,714 = 91,96 \text{ euros}$$ Ahora, calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $2075 - 91,96 = 1983,04$ - Límite superior: $2075 + 91,96 = 2166,96$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (1983,04; 2166,96)}$$

**b) Si $\alpha = 0,1$ ¿cuál es el tamaño muestral necesario para cometer un error menor que 10 euros para estimar el sueldo medio de los mencionados especialistas?** En este apartado, cambian las condiciones del problema: - Nivel de significación: $\alpha = 0,1 \implies 1 - \alpha = 0,90$ ($90\%$ de confianza). - Error máximo: $E < 10$. - Desviación típica: $\sigma = 250$. Primero, buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $\alpha = 0,1$: 1. $\alpha/2 = 0,05$. 2. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. 3. En la tabla $N(0, 1)$, para una probabilidad de $0,95$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a mayor nivel de confianza, mayor es el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, mayor es el error o mayor el tamaño de muestra requerido.

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n > \left( \frac{1,645 \cdot 250}{10} \right)^2$$ $$n > (41,125)^2$$ $$n > 1691,26$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y necesitamos que el error sea **menor** que 10, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 1692}$$ 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo ($.26$), siempre redondeamos hacia arriba en el cálculo de $n$ para asegurar que el error real sea estrictamente menor que el solicitado.