Estudio de depósitos bancarios mediante funciones a trozos

**a) ¿Cuándo es creciente y cuándo es decreciente $n(t)$?** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de la función en cada uno de sus tramos. La función derivada $n'(t)$ nos indicará el crecimiento (si es positiva) o el decrecimiento (si es negativa). Derivamos cada rama: - Para $0 \le t \lt 2$: $n_1(t) = \frac{(t-2)^2}{4} + 2$. Usamos la regla de la cadena: $$n_1'(t) = \frac{2(t-2)}{4} = \frac{t-2}{2}$$ - Para $2 \lt t \le 8$: $n_2(t) = \frac{t}{2} + 1$. Es una función lineal: $$n_2'(t) = \frac{1}{2}$$ La función derivada (a falta de estudiar el punto $t=2$) es: $$n'(t)=\begin{cases} \frac{t-2}{2} & \text{si } 0 \le t \lt 2, \\ \frac{1}{2} & \text{si } 2 \lt t \le 8. \end{cases}$$ Analizamos el signo de $n'(t)$: - En el intervalo $(0, 2)$, como $t \lt 2$, el numerador $t-2$ es negativo, por lo que $n'(t) \lt 0$. - En el intervalo $(2, 8)$, $n'(t) = 0.5$, que es siempre positivo. $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 2) & 2 & (2, 8) \\ \hline n'(t) & - & \text{No def.} & + \\ \text{Monotonía} & \text{Decreciente } \searrow & & \text{Creciente } \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Una función es creciente en un intervalo si su derivada es positiva y decreciente si su derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } [0, 2) \text{ y creciente en } (2, 8]}$$

**b) ¿Cuáles son los máximos y mínimos relativos? ¿Cuál es el nivel mínimo de los depósitos y cuándo se alcanza? ¿En qué momento, después del tercer año, el nivel de depósitos es igual a 2500 millones?** Observando la monotonía del apartado anterior, la función decrece hasta $t=2$ y crece a partir de ahí. Si la función es continua en $t=2$ (lo comprobaremos en el apartado c), habrá un **mínimo relativo** en ese punto. Calculamos el valor en $t=2$: $$n(2) = \frac{(2-2)^2}{4} + 2 = 2$$ El nivel de depósitos en el mínimo es de **2 mil millones de euros**. Evaluamos los extremos del intervalo para encontrar máximos y mínimos absolutos: - Al inicio ($t=0$): $n(0) = \frac{(0-2)^2}{4} + 2 = \frac{4}{4} + 2 = 3$ mil millones. - Al final ($t=8$): $n(8) = \frac{8}{2} + 1 = 4 + 1 = 5$ mil millones. Comparando los valores: - El nivel mínimo absoluto es **2 mil millones** y se alcanza a los **2 años**. - No presenta máximos relativos en el interior del dominio, aunque el máximo valor alcanzado en el periodo es de 5 mil millones en $t=8$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo y absoluto en } t=2 \text{ con } n(2)=2 \text{ (2000 M€)}} $$

El enunciado pregunta en qué momento, después del tercer año ($t \ge 3$), el nivel es de 2500 millones de euros. Como la función expresa el nivel en **miles de millones**, 2500 millones equivalen a $n(t) = 2.5$. Dado que buscamos un tiempo $t \gt 3$, utilizamos la segunda rama de la función: $$\frac{t}{2} + 1 = 2.5$$ Resolvemos la ecuación: $$\frac{t}{2} = 2.5 - 1$$ $$\frac{t}{2} = 1.5$$ $$t = 1.5 \cdot 2 = 3$$ El nivel de 2500 millones se alcanza exactamente al finalizar el **tercer año**. 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con las unidades. Si la función está en miles de millones, 2500 millones se deben escribir como 2.5. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t=3 \text{ años}}$$

**c) ¿Es $n(t)$ continua? ¿Es $n(t)$ derivable? Justificar las respuestas.** Una función a trozos es continua si lo es en cada rama y en los puntos de unión. Las ramas son un polinomio y una recta, por lo que solo debemos estudiar el punto de salto $t=2$. Para que sea continua en $t=2$, debe cumplirse: $\lim_{t \to 2^-} n(t) = \lim_{t \to 2^+} n(t) = n(2)$. 1. Valor de la función: $n(2) = \frac{(2-2)^2}{4} + 2 = 2$ 2. Límite por la izquierda ($t \to 2^-$): $$\lim_{t \to 2^-} \left( \frac{(t-2)^2}{4} + 2 \right) = \frac{0}{4} + 2 = 2$$ 3. Límite por la derecha ($t \to 2^+$): $$\lim_{t \to 2^+} \left( \frac{t}{2} + 1 \right) = \frac{2}{2} + 1 = 2$$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **$n(t)$ es continua en $t=2$** y, por tanto, en todo su dominio $[0, 8]$. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{\text{La función es continua en todo su dominio}}$$

Para que sea derivable en $t=2$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: $n'(2^-) = n'(2^+)$. Utilizamos la función derivada calculada en el apartado a): $$n'(t)=\begin{cases} \frac{t-2}{2} & \text{si } 0 \le t \lt 2 \\ \frac{1}{2} & \text{si } 2 \lt t \le 8 \end{cases}$$ 1. Derivada por la izquierda: $$n'(2^-) = \lim_{t \to 2^-} \frac{t-2}{2} = \frac{2-2}{2} = 0$$ 2. Derivada por la derecha: $$n'(2^+) = \lim_{t \to 2^+} \frac{1}{2} = 0.5$$ Como $0 \neq 0.5$, las derivadas laterales son distintas. Esto significa que en la gráfica hay un "punto anguloso". 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable, primero debe ser continua. Si es continua, comprobamos que no haya cambios bruscos de pendiente en los puntos de unión. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{\text{No es derivable en } t=2 \text{ porque } n'(2^-) \neq n'(2^+)}$$