Reparto de ganancias familiares mediante sistemas de ecuaciones

**a) Plantear el sistema correspondiente.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representarán las ganancias de cada miembro de la familia: - $x$: Ganancia de la madre (en euros). - $y$: Ganancia del padre (en euros). - $z$: Ganancia del hermano mayor (en euros). Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. "Han ganado un total de 66000 euros": $$x + y + z = 66000$$ 2. "La madre gana el $125\%$ de lo que gana el padre": $$x = 1.25y$$ 3. "Las ganancias conjuntas de padre y hermano mayor igualan la suma de lo que gana la madre más la mitad de lo que gana el padre": $$y + z = x + \frac{1}{2}y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un porcentaje se puede expresar como decimal para trabajar más fácilmente: $125\% = \frac{125}{100} = 1.25$. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 66000 \\ x = 1.25y \\ y + z = x + 0.5y \end{cases}}$$

**b) ¿Cuánto gana cada uno?** Antes de resolver, vamos a ordenar y simplificar las ecuaciones para que el sistema tenga una forma estándar ($ax + by + cz = d$): - La primera ya está simplificada: $x + y + z = 66000$. - La segunda: $x - 1.25y = 0$. - La tercera: Pasamos las variables al lado izquierdo: $$-x + y - 0.5y + z = 0 \implies -x + 0.5y + z = 0.$$ Nuestro sistema queda así: $$\begin{cases} (1) \quad x + y + z = 66000 \\ (2) \quad x - 1.25y = 0 \\ (3) \quad -x + 0.5y + z = 0 \end{cases}$$

Dado que en la segunda ecuación ya tenemos una relación directa entre $x$ e $y$, el método de sustitución es el más rápido. De la ecuación (2) sabemos que: $$x = 1.25y$$ Ahora sustituimos este valor de $x$ en las ecuaciones (1) y (3): **Sustituyendo en (1):** $$1.25y + y + z = 66000 \implies 2.25y + z = 66000 \quad (4)$$ **Sustituyendo en (3):** $$-1.25y + 0.5y + z = 0 \implies -0.75y + z = 0 \implies z = 0.75y \quad (5)$$ 💡 **Tip:** Al sustituir, intenta reducir el sistema a uno de dos ecuaciones con dos incógnitas, o como en este caso, expresar todo en función de una sola letra ($y$).

Sustituimos el valor de $z$ de la ecuación (5) en la ecuación (4): $$2.25y + 0.75y = 66000$$ $$3y = 66000$$ $$y = \frac{66000}{3} = 22000$$ Ahora calculamos $x$ y $z$ usando los valores obtenidos: - Para la **madre** ($x$): $$x = 1.25 \cdot 22000 = 27500$$ - Para el **hermano mayor** ($z$): $$z = 0.75 \cdot 22000 = 16500$$ Comprobamos que la suma es correcta: $27500 + 22000 + 16500 = 66000$. Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Madre: } 27500€, \text{ Padre: } 22000€, \text{ Hermano: } 16500€}$$