Inferencia de proporciones: Intervalo de confianza y contraste de hipótesis

**a) Para un nivel del $90\%$, obtener un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que tienen los comics como sus lecturas favoritas.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra ($n$): $450$ jóvenes. - Casos favorables ($x$): $110$ jóvenes prefieren comics. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{110}{450} \approx 0,2444$$ La proporción complementaria (los que no prefieren comics) será: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,2444 = 0,7556$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $90\%$: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,05 = 0,95$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, el valor de la probabilidad $0,95$ se encuentra entre los valores $1,64$ y $1,65$. Tomamos la media: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el $90\%$, el valor $1,645$ es un estándar. Si la probabilidad exacta no está en la tabla, se interpola o se toma el valor más cercano.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,2444 \cdot 0,7556}{450}}$$ $$E = 1,645 \cdot \sqrt{0,0004104} = 1,645 \cdot 0,02026 \approx 0,0333$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,2444 - 0,0333 = 0,2111$ - Límite superior: $0,2444 + 0,0333 = 0,2777$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0,2111, \, 0,2777)}$$

**b) Para un nivel de significación del $1,5\%$, ¿se puede aceptar la hipótesis de que es, al menos, igual a 0,25 la proporción de jóvenes para los que sus lecturas favoritas son comics?** En este apartado realizamos un contraste de hipótesis. El enunciado dice "al menos igual a 0,25", lo que significa $p \ge 0,25$. Esto define nuestra hipótesis nula: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \ge 0,25$ - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \lt 0,25$ Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**. Datos para el contraste: - $p_0 = 0,25$ - $q_0 = 1 - 0,25 = 0,75$ - $n = 450$ - $\alpha = 1,5\% = 0,015$ 💡 **Tip:** La hipótesis nula siempre debe contener el signo de igualdad ($=$, $\le$ o $\ge$).

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}} = \frac{0,2444 - 0,25}{\sqrt{\frac{0,25 \cdot 0,75}{450}}}$$ $$Z = \frac{-0,0056}{\sqrt{0,0004167}} = \frac{-0,0056}{0,020412} \approx -0,2743$$ Determinamos la región crítica para $\alpha = 0,015$. Buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,015$$ Esto equivale a buscar $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0,015 = 0,985$$ En las tablas de la Normal $N(0, 1)$, la probabilidad $0,985$ corresponde exactamente a: $$z_{\alpha} = 2,17 \implies \text{Valor crítico} = -2,17$$ La región de rechazo es $(-\infty, -2,17)$.

Comparamos el estadístico observado con el valor crítico: $$Z_{obs} = -0,2743$$ Como $-0,2743 \gt -2,17$, el valor del estadístico **no cae en la región de rechazo** (está en la zona de aceptación). Por lo tanto, no hay evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se puede aceptar la hipótesis de que la proporción es, al menos, 0,25 con un nivel de significación del 1,5\%}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en estadística no "demostramos" que algo es cierto, sino que los datos no nos permiten decir que es falso para el nivel de error fijado.