Distribución Normal: Tiempos de espera y Medias Muestrales

Para resolver este problema, primero definimos la variable aleatoria que estamos estudiando: $X =$ "tiempo de espera en el aeropuerto (en minutos)". Según el enunciado, la variable sigue una distribución normal con media $\mu = 23$ y desviación típica $\sigma = 7$. Por tanto: $$X \sim N(23, 7)$$ 💡 **Tip:** Casi todos los problemas de este tipo en Selectividad se resuelven mediante la **tipificación**, que consiste en transformar nuestra variable $X$ en una variable $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

**a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera esté entre 15 y 30 minutos.** Buscamos $P(15 \le X \le 30)$. Tipificamos ambos valores de la variable: Para $x = 15 \implies z_1 = \dfrac{15 - 23}{7} = -\dfrac{8}{7} \approx -1.14$ Para $x = 30 \implies z_2 = \dfrac{30 - 23}{7} = \dfrac{7}{7} = 1$ Ahora calculamos la probabilidad en la normal estándar: $$P(15 \le X \le 30) = P(-1.14 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1.14)$$ Como la tabla no tiene valores negativos, aplicamos la propiedad de simetría: $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 1) - [1 - P(Z \le 1.14)]$$ Buscamos los valores en la tabla de la $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1) = 0.8413$ - $P(Z \le 1.14) = 0.8729$ Sustituimos: $$0.8413 - (1 - 0.8729) = 0.8413 - 0.1271 = 0.7142$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(15 \le X \le 30) = 0.7142}$$

**b) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 26 minutos.** Buscamos $P(X \lt 26)$. Tipificamos el valor: $$z = \dfrac{26 - 23}{7} = \dfrac{3}{7} \approx 0.43$$ La probabilidad es: $$P(X \lt 26) = P(Z \lt 0.43)$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar para el valor $0.43$: $$P(Z \lt 0.43) = 0.6664$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 26) = 0.6664}$$

**c) Un pasajero viaja de lunes a viernes, calcular la probabilidad de que el tiempo medio de las 5 esperas sea superior a 25 minutos.** Aquí ya no estudiamos una espera individual, sino la **media de una muestra** de tamaño $n = 5$. Sabemos que si $X \sim N(\mu, \sigma)$, entonces la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos los nuevos parámetros: - Media: $\mu_{\bar{x}} = 23$ - Desviación típica de la media: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} \approx \dfrac{7}{2.236} \approx 3.13$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(23, 3.13)$. Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 25)$.

Tipificamos para la nueva distribución de la media muestral: $$z = \dfrac{25 - 23}{3.13} = \dfrac{2}{3.13} \approx 0.64$$ Calculamos la probabilidad: $$P(\bar{X} \gt 25) = P(Z \gt 0.64)$$ Usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.64) = 1 - P(Z \le 0.64)$$ Buscamos $0.64$ en la tabla: $$1 - 0.7389 = 0.2611$$ 💡 **Tip:** Observa que la desviación típica de la media es menor que la de la población individual. Esto significa que es menos probable que el promedio de varios días sea un valor extremo comparado con un solo día. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 25) = 0.2611}$$