Optimización: Dimensiones de un tragaluz rectangular

**a) ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo para emplear el mínimo de metros posible de perfil de aluminio?** Empezamos definiendo las variables para las dimensiones del tragaluz rectangular: - Sea $x$ la longitud del lado que **no necesita marco** (y su lado paralelo). - Sea $y$ la longitud de los otros dos lados paralelos. El enunciado nos indica que la superficie (área) del rectángulo es de $162 \text{ m}^2$. Por tanto: $$A = x \cdot y = 162$$ De esta ecuación podemos despejar una variable en función de la otra para facilitar los cálculos posteriores: $$y = \frac{162}{x}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la 'función objetivo' (lo que quieres minimizar o maximizar) y la 'restricción' (el dato fijo, como el área en este caso).

Queremos minimizar la cantidad de perfil de aluminio empleado. Como solo se necesita marco en tres lados, la función de la longitud del marco $L$ será: $$L(x, y) = x + 2y$$ (Consideramos el lado $x$ como el que no tiene marco en uno de sus extremos, por lo que sumamos un lado $x$ y dos lados $y$). Sustituimos $y = \frac{162}{x}$ en la función para tenerla con una sola variable: $$L(x) = x + 2\left(\frac{162}{x}\right)$$ $$L(x) = x + \frac{324}{x}$$ El dominio de esta función es $x \gt 0$, ya que una dimensión no puede ser negativa ni cero.

Para hallar el mínimo, derivamos la función $L(x)$ e igualamos a cero: $$L'(x) = 1 - \frac{324}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$1 - \frac{324}{x^2} = 0 \implies 1 = \frac{324}{x^2} \implies x^2 = 324$$ $$x = \sqrt{324} = 18$$ (Descartamos la solución negativa $x = -18$ porque las dimensiones deben ser positivas). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$. Es una regla muy útil para evitar usar la regla del cociente completa.

Debemos confirmar que en $x = 18$ hay un mínimo. Utilizaremos la segunda derivada: $$L''(x) = \left(1 - 324x^{-2}\right)' = 0 - 324(-2)x^{-3} = \frac{648}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 18$: $$L''(18) = \frac{648}{18^3} \gt 0$$ Como la segunda derivada es positiva ($L''(18) \gt 0$), confirmamos que en $x = 18$ existe un **mínimo relativo**. También podemos ver el signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 18) & 18 & (18, +\infty) \\\hline L'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ La función decrece antes de $18$ y crece después, lo que confirma el mínimo.

Calculamos la otra dimensión $y$ usando la relación del paso 1: $$y = \frac{162}{18} = 9 \text{ m}$$ Por tanto, las dimensiones del rectángulo deben ser un lado de **$18 \text{ metros}$** (el lado del que solo se pone un perfil) y dos lados de **$9 \text{ metros}$**. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 18 \text{ m y } 9 \text{ m}}$$

**b) ¿Cuántos metros de perfil de aluminio son necesarios?** Para calcular el total de metros, simplemente sustituimos los valores hallados en la función de longitud $L$: $$L = 18 + 2(9)$$ $$L = 18 + 18 = 36 \text{ metros}$$ O bien, usando la función $L(18)$: $$L(18) = 18 + \frac{324}{18} = 18 + 18 = 36 \text{ metros}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{36 \text{ metros de perfil de aluminio}}$$