Optimización de producción agrícola (pepinos y calabacines)

**a) Plantear el correspondiente problema de Programación Lineal para, en las condiciones anteriores, maximizar los beneficios globales del agricultor.** En primer lugar, definimos las variables de decisión. Dado que una de las restricciones viene en decámetros cuadrados ($dam^2$), utilizaremos esta unidad para la superficie: - $x$: superficie dedicada a la plantación de pepinos (en $dam^2$). - $y$: superficie dedicada a la plantación de calabacines (en $dam^2$). **Conversión de unidades:** Para que todo sea coherente, debemos saber que: - $1$ hectárea ($ha$) = $10.000$ $m^2$ = $100$ $dam^2$. - $1$ $dam^2$ = $100$ $m^2$. 💡 **Tip:** Es fundamental trabajar siempre en las mismas unidades. Si el beneficio nos lo dan por $m^2$, al final multiplicaremos por $100$ para obtener el beneficio por $dam^2$ o convertiremos todo el problema a metros cuadrados.

A partir del enunciado, extraemos las desigualdades que limitan nuestra solución: 1. **Superficie total:** El agricultor tiene $1$ hectárea ($100$ $dam^2$): $$x + y \le 100$$ 2. **Relación entre cultivos:** De calabacines ($y$) debe plantar, como máximo, el cuádruple de pepinos ($x$): $$y \le 4x$$ 3. **Límite de pepinos:** La superficie de pepinos no debe exceder los $40$ $dam^2$: $$x \le 40$$ 4. **No negatividad:** Las superficies no pueden ser negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ **Función Objetivo ($B$):** El beneficio por $m^2$ es $3$ € para pepino y $2,75$ € para calabacín. Por cada $dam^2$ ($100$ $m^2$), el beneficio será: - Pepino: $3 \cdot 100 = 300$ €/$dam^2$ - Calabacín: $2,75 \cdot 100 = 275$ €/$dam^2$ $$f(x, y) = 300x + 275y$$ El problema consiste en maximizar $f(x, y)$ sujeta a las restricciones anteriores.

**b) Representar la región factible y determinar una solución óptima.** Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el semiplano válido para cada una: - $r_1: x + y = 100$ (pasa por $(0, 100)$ y $(100, 0)$) - $r_2: y = 4x$ (pasa por $(0, 0)$ y $(20, 80)$) - $r_3: x = 40$ (recta vertical) La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: - **Vértice $A$:** Intersección de $x=0$ e $y=0$. $$\boxed{A(0, 0)}$$ - **Vértice $B$:** Intersección de $x=40$ e $y=0$. $$\boxed{B(40, 0)}$$ - **Vértice $C$:** Intersección de $x=40$ y $x+y=100$. $40 + y = 100 \implies y = 60$. $$\boxed{C(40, 60)}$$ - **Vértice $D$:** Intersección de $x+y=100$ e $y=4x$. $x + 4x = 100 \implies 5x = 100 \implies x = 20$. $y = 4(20) = 80$. $$\boxed{D(20, 80)}$$

Evaluamos la función de beneficios $f(x, y) = 300x + 275y$ en cada vértice: - $f(0, 0) = 300(0) + 275(0) = 0$ € - $f(40, 0) = 300(40) + 275(0) = 12.000$ € - $f(40, 60) = 300(40) + 275(60) = 12.000 + 16.500 = 28.500$ € - $f(20, 80) = 300(20) + 275(80) = 6.000 + 22.000 = 28.000$ € El beneficio máximo se alcanza en el punto $C(40, 60)$. 💡 **Tip:** En problemas de maximización sobre una región factible acotada, la solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del polígono. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Solución óptima: } 40 \text{ } dam^2 \text{ de pepinos y } 60 \text{ } dam^2 \text{ de calabacines. Beneficio: } 28.500 \text{ €}}$$