Inferencia estadística: Contraste de hipótesis y estimación de la media

**a) Con una significación del $5\%$, ¿se puede rechazar que el consumo no ha bajado?** Primero, extraemos la información relevante del enunciado para realizar el contraste de hipótesis: - Media poblacional inicial (antes de la campaña): $\mu_0 = 9,7$ g/día. - Tamaño de la muestra: $n = 144$. - Media de la muestra: $\bar{x} = 8,7$ g/día. - Desviación típica de la muestra (que tomamos como poblacional al ser $n$ grande): $\sigma = 2,1$ g/día. - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$ ($5\%$). 💡 **Tip:** En problemas de inferencia con muestras grandes ($n \ge 30$), la distribución de las medias muestrales sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$ según el Teorema del Límite Central.

Queremos comprobar si el consumo ha bajado. Planteamos un contraste unilateral (de una cola): - **Hipótesis nula ($H_0$):** El consumo no ha bajado, es decir, $\mu \ge 9,7$. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** El consumo ha bajado, es decir, $\mu \lt 9,7$. El enunciado nos pregunta si se puede rechazar que el consumo "no ha bajado", es decir, si podemos rechazar $H_0$ a favor de $H_1$.

Calculamos el valor del estadístico $Z$ para nuestra muestra: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituyendo los valores: $$Z = \frac{8,7 - 9,7}{2,1 / \sqrt{144}} = \frac{-1}{2,1 / 12} = \frac{-1}{0,175} \approx -5,71$$ 💡 **Tip:** El estadístico $Z$ nos indica a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media poblacional supuesta.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en un contraste unilateral por la izquierda, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,05$. En las tablas de la normal $N(0,1)$, ese valor es: $$-z_{0,05} = -1,645$$ La región de rechazo es $(-\infty, -1,645]$. Como nuestro estadístico $Z \approx -5,71$ cae dentro de la región de rechazo (ya que $-5,71 \lt -1,645$): **Rechazamos la hipótesis nula $H_0$.** ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se puede rechazar que el consumo no ha bajado con un } 5\% \text{ de significación.}}$$

**b) Con una confianza del $99\%$, ¿cuál es, en gramos, el máximo estimado del consumo diario medio de sal por persona? ¿Cuál es, en kilogramos, el máximo estimado del consumo diario medio de sal en toda la ciudad?** Primero, calculamos el valor crítico para un nivel de confianza del $99\%$ ($1 - \alpha = 0,99$): - $\alpha = 0,01 \implies \alpha/2 = 0,005$. - Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. En las tablas de la normal, corresponde a $z_{\alpha/2} = 2,575$. Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,575 \cdot \frac{2,1}{\sqrt{144}} = 2,575 \cdot 0,175 \approx 0,4506 \text{ g}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$.

El intervalo de confianza para la media es: $$IC = (8,7 - 0,4506; \, 8,7 + 0,4506) = (8,2494; \, 9,1506)$$ El máximo estimado del consumo diario medio por persona es el extremo superior del intervalo: $$\text{Máximo medio} = 8,7 + 0,4506 = 9,1506 \text{ g}$$ ✅ **Resultado (por persona):** $$\boxed{9,1506 \text{ g por persona/día}}$$

Para hallar el consumo máximo en toda la ciudad, multiplicamos el máximo medio por el número total de habitantes ($N = 52000$): $$\text{Consumo total (g)} = 52000 \cdot 9,1506 = 475831,2 \text{ g}$$ Convertimos el resultado a kilogramos dividiendo entre 1000: $$\text{Consumo total (kg)} = \frac{475831,2}{1000} = 475,8312 \text{ kg}$$ ✅ **Resultado (total ciudad):** $$\boxed{475,8312 \text{ kg/día}}$$