Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) ¿Cuál es la proporción muestral y cuál es el error máximo?** El enunciado nos da el intervalo de confianza para la proporción: $[32\%, 38\%]$, que expresado en tantos por uno es $[0,32, 0,38]$. La proporción muestral ($\hat{p}$) es el punto medio del intervalo de confianza. Podemos calcularla sumando los extremos y dividiendo por dos: $$\hat{p} = \frac{0,32 + 0,38}{2} = \frac{0,70}{2} = 0,35$$ 💡 **Tip:** En un intervalo de confianza para la proporción del tipo $(\hat{p}-E, \hat{p}+E)$, la proporción muestral siempre está exactamente en el centro. $$\boxed{\hat{p} = 0,35 \text{ (o } 35\%\text{)}}$$

El error máximo admitido ($E$) es la distancia desde el centro del intervalo (la proporción muestral) hasta cualquiera de sus extremos. Es decir, es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{0,38 - 0,32}{2} = \frac{0,06}{2} = 0,03$$ Esto significa que la estimación tiene un margen de error de un $3\%$. $$\boxed{E = 0,03 \text{ (o } 3\%\text{)}}$$

**b) ¿De qué tamaño es la muestra tomada para esta estimación?** Para hallar el tamaño de la muestra ($n$), primero necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95\%$. Si el nivel de confianza es $1-\alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$ y $\alpha/2 = 0,025$. Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$ el valor que deja a su derecha una probabilidad de $0,025$, o lo que es lo mismo, que deja a su izquierda $1 - 0,025 = 0,975$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975 \implies z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $1,96$ es el más habitual en los exámenes para el $95\%$ de confianza. Es recomendable memorizarlo.

La fórmula del error máximo para una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ Conocemos $E = 0,03$, $z_{\alpha/2} = 1,96$ y $\hat{p} = 0,35$. Despejamos $n$: $$0,03 = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,35 \cdot (1-0,35)}{n}}$$ $$\frac{0,03}{1,96} = \sqrt{\frac{0,35 \cdot 0,65}{n}}$$ $$\left(\frac{0,03}{1,96}\right)^2 = \frac{0,2275}{n}$$ $$n = \frac{0,2275}{\left(\frac{0,03}{1,96}\right)^2} = \frac{0,2275 \cdot 1,96^2}{0,03^2}$$ $$n = \frac{0,2275 \cdot 3,8416}{0,0009} \approx 971,07$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos al alza para garantizar que el error no supere el $0,03$. $$\boxed{n = 972}$$

**c) Con una significación del $5\%$, ¿se puede rechazar que la proporción de fumadores es, como mínimo, del $36,5\%$?** Queremos contrastar si la proporción real $p$ es, como mínimo, $0,365$. Planteamos las hipótesis: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \ge 0,365$ (La proporción es al menos del $36,5\%$). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \lt 0,365$ (La proporción es menor del $36,5\%$). Se trata de un **contraste unilateral izquierdo**. Datos: - Nivel de significación $\alpha = 0,05$. - Valor crítico para un contraste unilateral izquierdo: $z_{\alpha} = -1,645$. - Proporción bajo la hipótesis nula: $p_0 = 0,365$. - Proporción observada: $\hat{p} = 0,35$. - Tamaño muestral: $n = 971$ (usaremos el valor calculado, o $972$ indistintamente).

Calculamos el estadístico de contraste $Z$: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0,35 - 0,365}{\sqrt{\frac{0,365 \cdot 0,635}{972}}}$$ $$Z = \frac{-0,015}{\sqrt{\frac{0,231775}{972}}} = \frac{-0,015}{0,01544} \approx -0,971$$ Comparamos el estadístico con el valor crítico: - Región de rechazo: $Z \lt -1,645$. - Nuestro valor: $Z = -0,971$. Como $-0,971 \gt -1,645$, el estadístico **no cae en la región de rechazo**. No tenemos pruebas suficientes para rechazar $H_0$. **Conclusión:** Con una significación del $5\%$, **no se puede rechazar** que la proporción de fumadores sea, como mínimo, del $36,5\%$. 💡 **Tip:** Si el valor de $Z$ está más cerca de cero que el valor crítico, significa que la diferencia observada puede deberse al azar y no es significativa. $$\boxed{\text{No se puede rechazar la afirmación}}$$