Campaña de ahorro de papel

**a) Estudiar si la función es creciente o decreciente.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de la función $A(x)$ en cada uno de sus tramos: 1. Para el primer tramo $1 \le x \lt 100$: $$A'(x) = (e^{0,02x})' = 0,02 \cdot e^{0,02x}$$ Como la función exponencial $e^{u}$ siempre es positiva para cualquier valor de $u$, y $0,02$ también es positivo, entonces $A'(x) \gt 0$ en todo este intervalo. Por tanto, la función es **creciente**. 2. Para el segundo tramo $100 \lt x \le 390$: $$A'(x) = \left(-\frac{1}{50}x + 8\right)' = -\frac{1}{50} = -0,02$$ Como $A'(x) = -0,02 \lt 0$, la función es **decreciente** en este intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece.

Resumimos el comportamiento de la función en la siguiente tabla: $$\begin{array}{c|cc} x & (1, 100) & (100, 390) \\\hline A'(x) & + & - \\\hline A(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es creciente en } [1, 100) \text{ y decreciente en } (100, 390]}$$

**b) ¿Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el inicio de la campaña?** Para ver qué sucede en el día $x=100$, debemos estudiar la continuidad de la función comprobando si los límites laterales coinciden: 1. Límite por la izquierda ($x \to 100^-$): $$\lim_{x \to 100^-} A(x) = e^{0,02 \cdot 100} = e^2 \approx 7,389 \text{ miles de hojas.}$$ 2. Límite por la derecha ($x \to 100^+$): $$\lim_{x \to 100^+} A(x) = -\frac{1}{50}(100) + 8 = -2 + 8 = 6 \text{ miles de hojas.}$$ Como los límites laterales son distintos ($\lim_{x \to 100^-} A(x) \neq \lim_{x \to 100^+} A(x)$), existe un **salto finito** en la función. 💡 **Tip:** Un salto en este contexto indica que en el cambio de tramo de la campaña (exactamente a los 100 días), se produce una caída brusca en el ahorro de papel. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En el día 100 hay una discontinuidad (salto), el ahorro baja de } 7.389 \text{ a } 6 \text{ mil hojas.}}$$

**c) ¿En qué momento el ahorro es de cinco mil hojas?** Debemos resolver la ecuación $A(x) = 5$ (ya que $A$ se mide en miles de hojas) en ambos tramos: **Tramo 1 ($1 \le x \le 100$):** $$e^{0,02x} = 5$$ Aplicamos logaritmos naturales a ambos lados: $$\ln(e^{0,02x}) = \ln(5) \implies 0,02x = \ln(5)$$ $$x = \frac{\ln(5)}{0,02} \approx \frac{1,6094}{0,02} = 80,47 \text{ días.}$$ Este valor está dentro del intervalo $[1, 100]$, por lo que es válido. **Tramo 2 ($100 \lt x \le 390$):** $$-\frac{1}{50}x + 8 = 5$$ $$-\frac{1}{50}x = 5 - 8 \implies -\frac{1}{50}x = -3$$ $$x = (-3) \cdot (-50) = 150 \text{ días.}$$ Este valor también está dentro del intervalo $(100, 390]$, por lo que es válido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El ahorro es de 5.000 hojas a los 80,47 días y a los 150 días.}}$$