Álgebra 2013 Canarias
Sistema de ecuaciones: Compra de cajas de papel
Se gastan 3031,25 euros en comprar 1000 cajas de papel de tres colores diferentes: amarillo, blanco y celeste. La caja de papel amarillo cuesta 5,50 euros, la caja de papel blanco cuesta 3,75 euros y, como es reutilizado, la caja de papel celeste cuesta 2,25 euros.
Sabiendo que el número de cajas celestes es el número de cajas amarillas más el doble del número de cajas blancas. Se pide:
a) Plantear el sistema que permita hallar la cantidad de cajas de cada tipo que se han comprado.
b) Resolver dicho sistema.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) Plantear el sistema que permita hallar la cantidad de cajas de cada tipo que se han comprado.**
En primer lugar, definimos las incógnitas del problema basándonos en lo que nos preguntan:
- $x$: número de cajas de papel de color **amarillo**.
- $y$: número de cajas de papel de color **blanco**.
- $z$: número de cajas de papel de color **celeste**.
Ahora, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para obtener las tres ecuaciones:
1. El total de cajas compradas es 1000:
$$x + y + z = 1000$$
2. El coste total de la compra es 3031,25 €, multiplicando cada tipo de caja por su precio:
$$5,50x + 3,75y + 2,25z = 3031,25$$
3. La relación entre el número de cajas: las celestes ($z$) son las amarillas ($x$) más el doble de las blancas ($2y$):
$$z = x + 2y \implies x + 2y - z = 0$$
💡 **Tip:** Es muy importante definir claramente qué representa cada variable antes de empezar a escribir las ecuaciones.
El sistema planteado es:
$$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 1000 \\ 5,50x + 3,75y + 2,25z = 3031,25 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases}}$$
Paso 2
Reducción del sistema por sustitución
**b) Resolver dicho sistema.**
Para resolverlo de forma sencilla, podemos observar que en la tercera ecuación ya tenemos una relación directa para $z$. Vamos a sustituir $z = x + 2y$ en las otras dos ecuaciones para reducir el problema a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sustituimos en la primera ecuación:
$$x + y + (x + 2y) = 1000$$
$$2x + 3y = 1000 \quad (\text{Ecuación A})$$
Sustituimos en la segunda ecuación:
$$5,50x + 3,75y + 2,25(x + 2y) = 3031,25$$
$$5,50x + 3,75y + 2,25x + 4,50y = 3031,25$$
$$7,75x + 8,25y = 3031,25 \quad (\text{Ecuación B})$$
💡 **Tip:** Al sustituir una variable, asegúrate de aplicar la propiedad distributiva correctamente con los coeficientes, como hemos hecho con el $2,25$.
Paso 3
Resolución del sistema 2x2
Ahora resolvemos el sistema formado por las ecuaciones A y B:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 1000 \\ 7,75x + 8,25y = 3031,25 \end{cases}$$
Despejamos $x$ de la primera ecuación:
$$2x = 1000 - 3y \implies x = \frac{1000 - 3y}{2} = 500 - 1,5y$$
Sustituimos este valor de $x$ en la segunda ecuación:
$$7,75(500 - 1,5y) + 8,25y = 3031,25$$
$$3875 - 11,625y + 8,25y = 3031,25$$
$$-3,375y = 3031,25 - 3875$$
$$-3,375y = -843,75$$
$$y = \frac{-843,75}{-3,375} = 250$$
Calculamos $x$ usando el valor de $y$:
$$x = 500 - 1,5(250) = 500 - 375 = 125$$
✅ **Valores intermedios:**
$$\boxed{x = 125, \quad y = 250}$$
Paso 4
Cálculo de la tercera variable y solución final
Finalmente, calculamos el valor de $z$ utilizando la relación que establecimos al principio:
$$z = x + 2y$$
$$z = 125 + 2(250)$$
$$z = 125 + 500 = 625$$
Comprobamos que la suma total sea correcta: $125 + 250 + 625 = 1000$ cajas. Es correcto.
Por tanto, la solución al problema es:
- Cajas amarillas: **125**
- Cajas blancas: **250**
- Cajas celestes: **625**
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{x = 125, \quad y = 250, \quad z = 625}$$