Contraste de hipótesis para la media

**a) Con una significación del $10\%$, ¿se acepta que el consumo medio sigue siendo $16\text{ m}^3$ o, por el contrario, hay evidencias de que ha disminuido?** En primer lugar, identificamos la variable de estudio $X$ como el consumo medio de agua mensual por domicilio (en $m^3$). Para resolver este problema, realizaremos un **contraste de hipótesis unilateral**. Queremos comprobar si el consumo ha disminuido respecto al valor histórico de $16\text{ m}^3$. - **Hipótesis nula ($H_0$):** El consumo medio sigue siendo el mismo, $\mu = 16$. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** El consumo medio ha disminuido, $\mu \lt 16$. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) siempre contiene la igualdad, mientras que la alternativa ($H_1$) refleja lo que queremos demostrar (en este caso, una disminución).

Extraemos los datos de la muestra proporcionados para el apartado a): - Media poblacional bajo $H_0$: $\mu_0 = 16\text{ m}^3$. - Tamaño de la muestra: $n = 15$. - Media muestral: $\bar{x} = 14,9\text{ m}^3$. - Desviación típica muestral: $s = 3,6\text{ m}^3$. - Nivel de significación: $\alpha = 0,10$. Buscamos el **valor crítico** $z_\alpha$ para un nivel de confianza del $90\%$ ($1 - \alpha = 0,90$). Como es un contraste unilateral a la izquierda, la región de rechazo estará en la cola inferior. Para $\alpha = 0,10$, buscamos en la tabla de la normal $Z$ el valor que deja un área de $0,10$ a su izquierda: $$P(Z \lt -z_\alpha) = 0,10 \implies P(Z \le z_\alpha) = 0,90$$ Mirando en las tablas de la distribución Normal $N(0,1)$, el valor de $z_\alpha$ para una probabilidad acumulada de $0,90$ es aproximadamente **$1,28$**. Región de aceptación: $(\infty, -1,28]$ Región de rechazo (crítica): $(-\infty, -1,28)$

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z_{exp}$ para ver en qué región cae. Como no conocemos la desviación típica poblacional $\sigma$, utilizamos la muestral $s$ como estimación: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{14,9 - 16}{3,6 / \sqrt{15}} = \frac{-1,1}{3,6 / 3,873} = \frac{-1,1}{0,9295} \approx -1,183$$ 💡 **Tip:** Aunque con $n=15$ (muestra pequeña) se suele usar la $t$ de Student, en los programas de Bachillerato de Ciencias Sociales es habitual aproximar por la Normal si se asume normalidad de la población.

Comparamos el estadístico obtenido con el valor crítico: Como $Z_{exp} = -1,183$ es mayor que el valor crítico $-z_\alpha = -1,28$ (es decir, $-1,183 \gt -1,28$), el valor **cae dentro de la región de aceptación**. Por tanto, no hay evidencias estadísticas suficientes con un nivel de significación del $10\%$ para rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta que el consumo medio sigue siendo de } 16\text{ m}^3}$$

**b) Si la misma información se hubiese obtenido de una muestra de 36 domicilios, con una significación del $10\%$, ¿se acepta que el consumo medio sigue siendo $16\text{ m}^3$ o, por el contrario, hay evidencias de que ha disminuido?** Repetimos el proceso con los nuevos datos: - $n = 36$ - $\bar{x} = 14,9$ - $s = 3,6$ - $\alpha = 0,10$ (el valor crítico sigue siendo $-1,28$) Calculamos el nuevo estadístico de contraste: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{14,9 - 16}{3,6 / \sqrt{36}}$$ Como $\sqrt{36} = 6$: $$Z_{exp} = \frac{-1,1}{3,6 / 6} = \frac{-1,1}{0,6} = -1,833$$ 💡 **Tip:** Observa que al aumentar el tamaño de la muestra ($n$), el denominador disminuye, lo que hace que el estadístico sea más sensible a las diferencias respecto a la media poblacional.

Comparamos el nuevo estadístico con el valor crítico: En este caso, $Z_{exp} = -1,833$ es menor que el valor crítico $-1,28$ (es decir, $-1,833 \lt -1,28$). El valor **cae dentro de la región de rechazo** (o región crítica). Esto significa que, al aumentar el tamaño de la muestra, la diferencia entre $14,9$ y $16$ se vuelve estadísticamente significativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ Hay evidencias de que el consumo medio ha disminuido.}}$$